giải bài tập toán cao cấp 1 ma trận

Xem thêm: Tài Liệu Khóa Luận Văn Tốt Nghiệp Ngôn Ngữ Trung, Kho Luận Văn Chuyên Ngành Ngôn

T
ta xét đẳng thức A.A
-1
= E, áp dụng tính chất
của ma trận chuyển vị ta có
(A.A
-1
)
T
= E ⇒ (A
-1
)

Ví dụ 4.
11
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
1. Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện A – 3A + E =
0 thì A = 3E – A.
2. Chứng minh rằng (E – A) = E + A + A nếu A = 0.
Giải.
1. Từ điều kiện của bài toán đã cho ta có
E = 3A – A = A(3E – A).
Do vậy
detA.det(3E – A) = detE = 1 ⇒ detA ≠ 0, tức là A có ma trận nghịch đảo,
mặt khác E = A(3E – A) ⇒ AE = AA(3E – A) ⇒ A = 3E – A

2. Ta có thể nhân ma trận E – A với E + A + A, nếu là ma trận nghịch đảo nhau
thì kết quả là E.
Thật vậy (E – A).(E + A + A) = E – A + A – A + A – A = E – A = E
(Vì A = 0)
Ví dụ 5. Tìm ma trận nghịch đảo với ma trận A =
Giải:
Để tồn tại ma trận nghịch đảo detA = ad – bc ≠ 0. Với giả thiết đó ta có
A
11
= d; A
12
= -b; A

21
= -c; A
22
= a. Do đó A
-1
=
Từ ví dụ này ta rút ra quy tắc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2:
Ma trận nghịch đảo của ma trận cấp 2 bằng tích của nghịch đảo của định thức với ma
trận mà đường chéo chính là hoán vị của hai phần tử trên đường chéo chính, còn
phần tử trên đường chéo thứ hai cũng chính là hoán vị của đường chéo thứ hai nhưng
đổi dấu.
Ví dụ 6.

1, Giả sử A là ma trận không suy biến, hãy giải các phương trình ma trận sau:
AX = B, YA = B.
2, Áp dụng câu 1 giải các phương trình nếu A = ; B = .
Giải:
1, Nhân bên trái hai vế của phương trình AX = B với A
-1
và thực hiện phép
tính đại số tương ứng ta có
A
-1
.A.X = A
-1

.B ⇒ EX = A.B ⇒ X = A.B
Tương tự phương trình Y.A = B nhân bên phải hai vế với B ta được Y =B.A
12
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
2, Với A = ⇒ A = . =
Từ đó X = A.B = . =
Y = B.A =. =
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
1, . (ĐS: ) 2, . (ĐS: )
3, . (ĐS: )
4. . (ĐS: Không tồn tại A).

5. . (ĐS: ).
6. . (ĐS: Không tồn tại).
7. . (ĐS: ).
8. . (ĐS: )
Bài 2. Với các giá trị nào của a thì các ma trận sau có ma trận nghịch đảo
1. . (ĐS: a ≠ ). 2. . (ĐS: a = ± ; a ≠ 0)
Bài 3. Tìm ma trận X thỏa mãn các phương trình
1. .X = . (ĐS: X = ).
2. X. = . (ĐS: X = )
3. .X. = . (ĐS: X = ).
4. A.X + B = 2C trong đó
A = ; B = ; C =

(ĐS: X = )
5.X.A – 2B = E trong đó
A = , B =
(ĐS: X = ).
Bài 4. Chứng minh rằng các ma trận A + E và A – E không suy biến và nghịch đảo
nhau nếu A = 0
Bài 5. Chứng minh rằng A + E và A + E – A không suy biến và nghịch đảo nhau nếu
A = 0
Bài 6. Chứng minh rằng nếu A,B, C là những ma trận không suy biến thì A.B.C và
13
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
C

-1
.B
-1
.A
-1
là nghịch đảo nhau.
Dạng 5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
* Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
– PP ma trận: Vì detA ≠ 0 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A
-1
, từ hệ AX = H
ta có A

-1
.AX = A
-1
.H ⇒ EX = X = A
-1
.H
Vậy nghiệm của hệ là X = A
-1
.H
– PP Cramer: Nghiệm duy nhất của hệ Cramer được xác định theo công thức
x
j

=
,
j =
Trong đó A
j
là ma trận thu được bằng cách thay cột j của ma trận A bằng cột
các hệ số tự do H, còn các cột khác dữ nguyên
– PP gauss: Nội dung chủ yếu của phương pháp là khử liên tiếp các ẩn của hệ.
Thuật toán Gauss dựa trên các phép biến đổi sơ cấp của hệ phương trình đó là:
+ Nhân một phương trình nào đó với một số khác không
+Thêm vào hai vế của phương trình với một biểu thức tồn tại
+ Đổi chỗ hai phương trình

+ Mọi phép biến đổi sơ cấp luôn cho ta một hệ mới tương đương với hệ đã
cho.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận
1. (1) 2. (2)
Giải:
1. Ta ký hiệu A = , X = , H = .
Khi đó (1) có dạng A.X = H.
Vì detA = 2 nên A có ma trận nghịch đảo, do vậy (1) có nghiệm duy nhất
X = A
-1
.H

Ta có A
-1
= , do đó = .
Thực hiện phép nhân ma trận ở vế phải ta được x
1
= 2, x
2
= 3, x
3
= -1.
2. Ta có A = ⇒ A
-1

= , H =
14
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
tương tự câu 1 ta có phương trình (2) có nghiệm duy nhất X = A
-1
.H
và = . ⇒ x
1
= 8, x
2
= 12, x
3

= -1.
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc cramer, giải các hệ phương trình sau.
1. 2.
Giải:
1. Áp dụng công thức cramer ta có x
j
=
,
j = . Trong đó
detA = = 30 ≠ 0; detA
1
= = 30;

detA
2
= = 30; detA
3
= = 30
Vậy nghiệm của hệ là x
1
= 1; x
2
= 1; x
3
= 1.

2. Ta có detA = = 35, vì detA ≠ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất
Với detA
1
= = 70, detA
2
= = -35,
detA
3
= = 0, detA
4
= = -70.
Vậy nghiệm của hệ là x

= 0, x
4
=

= -2.
Ví dụ 3. Áp dụng phương pháp Gauss giải các hệ phương trình sau
1. 2.
Giải:
1. Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi.
= → h
3
-5h

2. Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi sơ cấp ta có
= h
1
↔
h
2
→
→ h
2
↔
h
3

= -2, x
3
= 2, x
4
= 1.
Ví dụ 4. Giải và biện luận theo a số nghiệm của hệ

15
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Giải: Ta có
A = ⇒ detA = (a + 2)(a – 1)
2

= D
Tương tự detA
1
= detA
2
= detA
3
= (a – 1)
2

+ Nếu D ≠ 0 ⇔ a ≠ -2, a ≠ 1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất và theo

công thức cramer ta có x
1
= x
2
= x
3
=
+ Nếu a = -2 thì D = 0 khi đó D
1
= D
2
= D

3
= 9 ≠ 0, áp dụng công thức
cramer x
1
= x
2
= x
3
= vì D = 0 nên không tồn tại x
1
, x
2

, x
3
nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu a = 1 thì D = 0 và D
1
= D
2
= D
3
= 0, khi đó nghiệm của hệ có
dạng hệ có vô số nghiệm.
Ví dụ 5. Tìm nghiệm tổng quát và hệ nghiệm cơ bản của hệ

Giải:
Vì số phương trình bé hơn số ẩn nên tập nghiệm của hệ phương trình là
vô hạn. Vì hạng của ma trận của hệ bằng 2 vì có = 6 ≠ 0 nên hệ đã cho tương đương
với hệ

⇒ x
1
=
,

x
3
= x
4
.
Vậy tập nghiệm của hệ là
BÀI TẬP
Bài 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
1. (ĐS: x
1
= 9; x
2

= 0)
16
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Bài 2. Giải và biện luận theo a số nghiệm của hệ phương trình sau.
a.

ĐS: Nếu a ≠ 1, a ≠ 2 thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu a = 1 thì hệ có vô số nghiệm
Nếu a = 2 thì hệ vô nghiệm
b.
ĐS: Nếu a ≠ 1 hệ có nghiệm duy nhất
Nếu a = 1 hệ vô nghiệm

c.
ĐS: Nếu a ≠ -3, a ≠ 1 thì hệ có nghiệm duy nhất
Nếu a = -3 hệ có vô số nghiệm
Nếu a = 1 thì hệ vô nghiệm.
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau
1. . (ĐS: x
2
= – ; x
3
=

, x

= 1; x
2
= 2; x
3
= 3)
5. . (ĐS: Hệ vô nghiệm)
CHƯƠNG II. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
+ Phương pháp: Cho trước ε > 0, ta phải tìm số δ > 0 theo ε sao cho < δ ⇒
17
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
< ε.

CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa, chứng minh rằng (2x + 1) = 3
Giải:
Với ε > 0 vô cùng bé sao cho < ε ⇔ < ε ⇔ 2 < ε
⇔ < . Đặt δ = khi đó ∀ε > 0 ∃ δ = sao cho < δ ⇒ < δ
⇔ (2x + 1) = 3.
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa, chứng minh rằng = -1
Giải:

Với ε > 0 vô cùng bé sao cho < ε ⇔ < ε ⇔ < ε
⇔ < ε . Đặt δ = ε > 0, khi đó ∀ε > 0 ∃ δ = ε > 0 sao cho < δ ⇒ < ε ⇔ = -1.
DẠNG 2: GIỚI HẠN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

+ Phương pháp:
– Nếu tử và mẫu số của một phân thức hữu tỉ đều triệt tiêu tại x = a thì ta có thể
giản ước phân thức cho x-a một hoặc một số lần.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giới hạn các hàm số
1. 2.
3. 4.
Giải:
1. Ta có = = = –
2. Ta có = =
= ⇒ = = .
18

Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
3. = =
= = .
4. Ta có = = –
= – = + = +
⇒ = ( + ) = + =
Ví dụ 2. Tìm (n ∈ N)
Giải: Ta có =
=
= <1 + (x + 1) + + (x n-1 +x
n-2
+ +x + 1)> = 1 + 2 + + n =
Ví dụ 3. Tính các giới hạn
1. 2.
3. 4.
Giải:
1. Ta có = = (x
4
+ x
3
+ x
2

+ x + 1) = 5
2. = = = 0.
3. = = =
4. = = =
BÀI TẬP
Tính các giới hạn sau:
1. (ĐS: ) 2. (ĐS: 3a)
3. (ĐS: ) 4. (ĐS: )
5. (∀m,n ∈ N) 6.

(ĐS: 4ln2 – 4)
19

Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
7. (ĐS: – ) 8. (ĐS: )
9. (ĐS: 24) 10. (ĐS: )
DẠNG 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Phương pháp: Ta sử dụng các công thức sau
1
0
lim(1 )
x
x
x e
→

x
a
a
x
→
−
=
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính giới hạm các hàm số
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
Giải:

1. = = . = .
2. = =
3. = = = 2
4. = = = 2
5. = =
= . . =
6. = = 2.( + 1) = 4
7. = = 4 = 4
8. =
=
= = = 1
Ví dụ 2: Tính giới hạn các hàm số

20
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
1. 2. 3.
Giải:
1. Đặt = ⇒ 2z = x – 1, vì x → ∞ nên z → ∞
⇒ = = = . (1+)
3
= e. 1 = e
2. Đặt =α, khi x → ∞ thì α → 0
⇒ x = ⇒ (1+α) = <(1+α)>.(1+α)
c
= e

3. = < > = 1 1 =
BÀI TẬP
Tính giới hạn các hàm số sau:
1. (ĐS: – ∞) 2. ( – tan
2
x) (ĐS: )
3. x.cotx (ĐS: 1) 4. (1 – x) tanx (ĐS: )
5. (5x + 1)tan (ĐS: 10) 6. (x + 4)sin (ĐS: 3)
7. (ĐS: 7)
HD: Áp dụng công thức = =

Ta có

1- cosx.cos2x.cos3x = 1 – cosx + cosx – cosx.cos2x + cosx.cos2x – cosx.cos2x.cos3x
= (1 – cosx) + cosx(1 – cos2x) + cosx.cos2x(1 – cos3x)
8. . (ĐS: – ) 9. (1 + cos2x).tanx (ĐS: 0)
10. (ĐS: 6)
DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ (VCB)
VÀ VÔ CÙNG LỚN (VCL)
+ Phương pháp:
-Xét xem hàm số cần tìm giới hạn là đại lượng VCB hay VCL khi x → a
– Nếu α(x) là VCB thì α(x) = 0, nếu α(x) là VCL thì α(x) = ∞
Ngoài ra trong quá trình tính giới hạn ta có thể dùng các VCB tương đương thay
thế. Khi x → 0 ta có bảng VCB tương đương sau:
21

Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng

2
sinx log (1 )
ln
t anx ln(1+x) x
1 cos a 1 .ln
2
arcsin e 1
arctan
a
x

: :
: :
: :
: :
: (1+x) 1 x
α
α
−
:

Ví dụ 1. = (4 + ) = 4 vì là VCB khi x → ∞
Ví dụ 2. Tính

Giải:
Vì sin2x và sinx là các đại lượng VCB khi x → 0 nên sin2x τ 2x, sinx τ x
⇒ = = 2
Ví dụ 3. Tính
Giải:
Vì 4x
2
– 7x + 2 và x
2
+ 1 là các đại lượng VCL khi x → ∞ nên 4x
2
– 7x + 2 τ 4x

2

và x
2
+ 1 τ x
2
Khi đó =

= 4

Ví dụ 4. Tính
Giải: Ta có – 1 và – 1 là đại lượng VCB khi x → 0 khi đó

– 1 τ x và – 1 τ x ⇒ = (x:x) =
DẠNG 5: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG (U
(x)
)
V(x)
Phương pháp:
Nếu U(x) = A và V(x) = B thì = A
B
∀ A, B ∈ R
Nếu có dạng vô định ( 1; 0; ∞) thì ta sử dụng công thức sau
= e
Trong đó V(x).lnU(x) là dạng vô định có thể đưa về dạng ; .

Ví dụ. Tính các giới hạn sau:
1. (3x+1) 2. (cosx)
3. (1+tanx) 4.
22
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Giải.
1. (3x+1)= 4 = (Vì (3x+1) = 4, (x
2
-2) = -1
2. (cosx) = e
Trong đó lncosx = =
Do 1 + (cosx – 1) là VCB khi x → 0 nên 1 + (cosx – 1) τ 1 –

⇒ = . = –
Vậy (cosx) = e =
3. Ta có (1+tanx) = e
cotx.ln(1 + tanx) = Vì tanx và sinx là VCB khi x → 0 Nên tanx τ x và sinx τ.
Khi đó = = 1
Vậy (1+tanx) = e = e = e
Ta có = e
BÀI TẬP
Tính các giới hạn sau
1. (1+3tan
2
x) (ĐS: e) 2. (ĐS: e)

3. (sinx) (ĐS: -1) 4. (tanx) (ĐS: -1)
5. (cosx) (ĐS: e) 6. (cos3x) (ĐS: e)
7. (ĐS: 1) 8. (ĐS: e)
DẠNG 6: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
+ Tính giới hạn
( )
x a
Lim f x
→
.
+ Tính f(a).

Nếu
( )
x a
Lim f x
→
= f(a) thì hàm số liên tục tại a. ngược lại hàm số gián đoạn tại a.
Khi hàm số gián đoạn tại a ta có:
+ Nếu tồn tại
( )
x a
Lim f x
−

→
và
( )
x a
Lim f x
+
→
thì a là điểm gián đoạn loại 1
+ Điểm gián đoạn loại 2 là điểm gián đoạn không phải loại 1.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau
23

Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
1. f(x) = tại x = 0 2. f(x) =
3. f(x) = tại x = 1
Giải:
1. Ta có f(0) = 0, f(x) = f(x) = 0 ⇒ f(x) = f(x) = f(0) = 0
Vậy f(x) liên tục tại x = 0
2. Ta có f(1) = 7
mặt khác f(x) = = = (x+6) = 7
Vậy f(x) liên tục tại x = 1
3. Ta có f(1) = -π
= = =
⇒ f(x) = = = -π = f(x)

Vậy hàm số liên tục tại x = 1
Ví dụ 2. Xét tính liên tục một bên của các hàm số sau tại x = 0
1. f(x) = 2. f(x) =
Giải:
1. Ta có f(0) = 1
f(x) = (3 – x) = 3 ≠ 1 = f(0)
Vậy hàm số không liên tục bên phải tại x = 0
Xét f(x) = (x
2
+ 1) = 1 = f(0)
Vậy hàm số liên tục bên trái tại x = 0.
2. Ta có f(0) = 2

Xét f(x) = (1 + ) = 2 = f(0)
Vậy hàm số liên tục bên phải tại x = 0
Xét f(x) = (1 + ) = 0 ≠ f(0)
Vậy hàm số không liên tục bên trái tại x = 0.

Ví dụ 3.
24
Bài tập toán cao cấp Bùi Thành Trung – Trần Văn Dũng
Cho hàm số f(x) = chưa xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để f(x) liên tục tại x
= 0.
Giải:
Ta có f(x) = = = =

Vậy để hàm số liên tục tại x = 0 thì f(0) = f(x) =
Ví dụ 4. Cho hàm số f(x) xác định như sau
f(x) = Chứng tỏ rằng f(x) liên tục <0; 4>
Giải:
Ta thấy f(x) liên tục trên <0; 4>, ta cần chứng minh f(x) liên tục bên trái của x = 4.
Xét f(x) = = = = f(4)
Vậy f(x) liên tục bên trái tại x = 4 ⇒ f(x) liên tục trên <0; 4>
Ví dụ 5. Cho hàm số
f(x) = Chứng tỏ rằng hàm số không liên tục tại x =1
Giải:
Ta có f(x) = = ∞ ≠ 1 = f(1)
Vậy hàm số không liên tục tại x = 1

BÀI TẬP
Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số
f(x) = tại điểm x = 2. (ĐS: Hàm không liên tục tại x = 2)
Bài 2. Tìm điểm gián đoạn của các hàm số
a, f(x) = b, f(x) =
Bài 3. Cho hàm số
f(x) =
Xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại x = 0.
(ĐS: Hàm số không liên tục tại x = 0)
Bài 4. Cho hàm số
f(x) =
Tìm A, B để hàm số liên tục trên toàn trục số

Bài tập toán cao cấp full, Có lời giải 76 27 45

bài tập nâng cao lớp 8 có lời giải 2 17 166

Bài tập toán cao cấp 1 517 0

Bài tập toán cao cấp – Tập 2 pdf 272 655 1

Bài tập toán cao cấp – Phần 1 pptx 12 840 5

Bài tập toán cao cấp – Phần 2 pptx 11 826 6

Bài tập toán cao cấp part 1 docx 16 558 4

Bài tập toán cao cấp part 2 pdf 16 458 0

Bài tập toán cao cấp part 3 ppsx 16 543 0

Xem thêm: Tính Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Mặt Phẳng Trong Không Gian, Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến Mặt Phẳng Trong Oxyz

Bài tập toán cao cấp part 4 pot 16 401 1