Giải Bài Tập Chương 2 Toán Cao Cấp 1 Có Lời Giải, Lý Thuyết Và Giải Bài Tập Chương 2 Toán Cao Cấp

Mục tiêu chính của chương 2 Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến số nằm trong bài giảng toán cao cấp nhằm trình bày về: đạo hàm của hàm số, vi phân của hàm số, vi phân cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng, ứng dụng của đạo hàm, ứng dụng trong kinh tế.

Đang xem: Giải bài tập chương 2 toán cao cấp 1

gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 11 Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩa Các công th c đ o hàm cơ b n Đ o hàm c p cao2 Vi phân c a hàm s Khái ni m Vi phân c p cao và ng d ng vi phân vào tính g n đúng3 Các đ nh lý v giá tr trung bình4 ng d ng c a đ o hàm Công th c Taylor Quy t c L’Hospital S bi n thiên c a hàm s C c tr c a hàm s5 ng d ng trong kinh t Giá tr biên t (Marginal quantity) Đ co dãn (Elasticity) T i ưu trong kinh t Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩaCho hàm s y = f(x) xác đ nh trong lân c n (a, b), x0 ∈ (a, b).Kí hi u: ∆x = x − x0 : s gia c a đ i s (lư ng thay đ i c a x t x0 đ n x) ∆y = ∆f(x0 ) = f(x) − f(x0 ) = f(x0 + ∆x) − f(x0 ): s gia c a hàm s f(x) (lư ng thay đ i c a f(x) khi x thay đ i lư ng ∆x) ∆y f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = = ⇒? ∆x ∆x x − x0 ∆y lim ⇒? ∆x→0 ∆x Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩaĐ nh nghĩaCho hàm s y = f(x) xác đ nh trong lân c n (a, b), x0 ∈ (a, b). N u gi i h n ∆y f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) lim = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0t n t i thì gi i h n này đư c g i là đ o hàm c a hàm s y = f(x) t i x0 . Kíhi u là f (x0 ) hay y (x0 ).Ví d . Tính đ o hàm t i x0 = 2 c a hàm s y = f(x) = x2 + 3xGi i: f(x) − f(2) (x2 + 3x) − (22 + 3.2) f (2) = lim = lim x→2 x−2 x→2 x−2 2 x + 3x − 10 = lim = lim (x + 5) = 7. x→2 x−2 x→2V y f (2) = 7. Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩaĐ nh nghĩaHàm f(x) đư c g i là có đ o hàm bên ph i t i x0 , kí hi u f+ (x0 ), n u t n t igi i h n f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f+ (x0 ) = lim + = lim+ ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0Hàm f(x) đư c g i là có đ o hàm bên trái t i x0 , kí hi u f− (x0 ), n u t n t igi i h n f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f− (x0 ) = lim − = lim− ∆x→0 ∆x x→x0 x − x0 Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩaĐ nh lýHàm f(x) đư c g i là có đ o hàm t i x0 khi và ch khi f+ (x0 ) = f− (x0 )Ví dTính đ o hàm c a hàm s f(x) = x3 + 2|x| + 1 t i x0 = 0.Gi i. Ta có x3 + 2x + 1 n u x>0 f(x) = x3 − 2x + 1 n u x≤0 f(x) − f(0) (x3 + 2x + 1) − 1 f + (0) = lim = lim+ = lim+ (x2 + 2) = 2 x→0 + x−0 x→0 x x→0 f(x) − f(0) (x3 − 2x + 1) − 1 f − (0) = lim+ = lim− = lim− (x2 − 2) = −2 x→0 x−0 x→0 x x→0T i x0 = 0, đ o hàm trái và đ o hàm ph i không b ng nhau nên hàm s khôngcó đ o hàm t i x0 = 0. Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩaVí dCho hàm s  x+1  e −x−2 n u x −1   f(x) =    x+1   a n u x = −1 i) Tìm a đ hàm s liên t c t i x0 = −1. ii) Tìm đ o hàm f (−1) ng v i a v a tìm đư c trong câu i).Gi i. i) Ta có ex+1 − x − 2 ex+1 − x − 2 lim + = lim − =0 và f(−1) = a x→−1 x+1 x→−1 x+1Đ hàm s liên t c t i x0 = −1 khi và ch khi ex+1 − x − 2 lim = f(−1) ⇐⇒ a = 0 x→−1 x+1 Đ o hàm c a hàm s Đ nh nghĩaii) Thay a = 0 thì  x+1  e −x−2 n u x −1   f(x) =    x+1   0 n u x = −1Ta có, ex+1 − x − 2 −0 f(x) − f(−1) x+1 f (−1) = lim = lim x→−1 x+1 x→−1 x+1 ex+1 − x − 2 1 = lim 2 = x→−1 (x + 1) 2 8 Đ o hàm c a hàm s Các công th c đ o hàm cơ b nCác công th c đ o hàm c a hàm sơ c p 11) (k) = 0 , k là h ng s 8) (cotgx) = − sin2 x2) (xα ) = αxα−1 1 9) (arcsinx) = √3) (ex ) = ex 1 − x2 1 14) (lnx) = 10) (arccosx) = − √ x 1 − x25) (cosx) = −sinx 16) (sinx) = cosx 11) (arctanx) = 1 + x2 1 17) (tanx) = 12) (arccotgx) = − cos2 x 1 + x2Tính ch t 1) (ku) = ku 2) (u ± v) = u ± v 3) (uv) = u v + uv u u v − uv 4) = v iv 0 v v2 5) Cho hai hàm s y = f(u), u = u(x) và t n t i u (x), y (u), khi đó yx = fu (u).ux . Đ o hàm c a hàm s Các công th c đ o hàm cơ b nCác công th c đ o hàm c a hàm h p1) (uα ) = αuα−1 u 5) (sinu) = u cosu2) (eu ) = eu u 1 6) (tanu) = u 1 cos2 u3) (lnu) = u 1 u 7) (cotgu) = − 2 u4) (cosu) = −u sinu sin uĐ nh lýGi s f là m t hàm s đơn đi u và f (x0 ) 0 . Khi đó, hàm ngư c f −1 kh vi 1t i y0 = f(x0 ) và (f −1 ) (y0 ) = f (x0 )Các công th c đ o hàm c a hàm ngư c 1 11) (arcsin x) = √ , x ±1 3) (arc tan x) = 1 − x2 1 + x2 1 12) (arccos x) = − √ , x ±1 4) (arccotgx) = − 1 − x2 1 + x2 10 Đ o hàm c a hàm s Các công th c đ o hàm cơ b nVí dTính đ o hàm c a các hàm s sau: a) y = −8×4 + ln x b) y = sin(13 − x − x4 ) √ c) y = ln2 x + 1 + cot 3x 41 + x2 d) y = ln 1 − x3 2 x −1 e) y = ln x f) y = (x2 + 1)sin x Đ o hàm c a hàm s Đ o hàm c p caoĐ nh nghĩa- N u hàm s f(x) có đ o hàm t i x thì ta nói f(x) có đ o hàm c p 1 t i x. Kíhi u f (x).- Đ o hàm (n u có) c a đ o hàm c p 1 đư c g i là đ o hàm c p 2 c a f(x) t ix. Kí hi u f (x).- Tương t , đ o hàm c a đ o hàm c p n − 1 c a f(x) đư c g i là đ o hàm c pn c a f(x). Kí hi u f (n) (x) f (n) (x) = (f (n−1) (x))Công th c LeibnizGi s các hàm s u(x), v(x) có đ o hàm liên ti p đ n c p n. Khi đó, ta có n n! (uv)(n) = Ck u(n−k) .v(k) , trong đó Ck = n n và u(0) = u, v(0) = v k!(n − k)! k=0 Đ o hàm c a hàm s Đ o hàm c p caoM t s công th c tính đ o hàm c p cao α (n) α−n 1) (x + a) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (x + a) (n) 1 1 2) = (−1)n n! x+a (x + a)n+1 (n) 3) (eax ) = an · eax (n) (n − 1)! 4) (ln x) = (−1)n−1 · xn 5) (sin(ax)) = a · sin(ax + n π ) (n) n 2 (n) n π 6) (cos(ax)) = a · cos(ax + n ) 2 α (n) α−n 7) (ax + b) = α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (ax + b) · an (n) (n − 1)! 8) (ln(ax + b)) = (−1)n−1 · · an (ax + b)n (n) π 9) (sin(ax + b)) = an · sin(ax + b + n ) 2 (n) n π10) (cos(ax + b)) = a · cos(ax + b + n ) 2 13 Đ o hàm c a hàm s Đ o hàm c p caoVí dTính f (100) (1) c a hàm s f(x) = (3×2 + 1) ln x.Gi i. Ta có u = 3×2 + 1, v = ln x. Áp d ng công th c Leibniz f (100) (x) = C0 u(100) v(0) + C1 u(99) v(1) + . . .

Xem thêm: Cách Tính Điểm Thi Vào 10 Năm 2019 Cập Nhật Mới Nhất &Mdash; Đọc Là Đỗ

Xem thêm: Bắt Đầu Nhanh: Lọc Dữ Liệu Bằng Cách Lọc Dữ Liệu Trong Excel

+ C98 u(2) v(98) + C99 u(1) v(99) 100 100 100 100 +C100 u(0) v(100) 100Ta th y f (k) = 0 khi ∀k > 2. V y f (100) (x) = C98 u(2) v(98) + C99 u(1) v(99) + C100 u(0) v(100) 100 100 100Mà 97! 98! 99! (ln(x))(98) = (−1)97 , (ln(x))(99) = (−1)98 99 , (ln(x))(100) = (−1)99 100 x98 x xSuy ra 97! 98! 99! f (100) (x) = −6.4950. 98 + 6x.100. 99 − (3×2 + 1). 100 x x x =⇒f (100) (1) = −6.4950.97! + 6.100.98! − 4.99! = −9708.97! Vi phân c a hàm s Khái ni mĐ nh nghĩaCho hàm s y = f(x) đư c g i kh vi t i x0 ∈ Df n u∆f(x0 ) = f(x0 + ∆x) − f(x0 ) có th bi u di n dư i d ng ∆f(x0 ) = A.∆x + 0(∆x)v i A là h ng s và 0(∆x) là VCB c p cao hơn ∆x khi ∆x → 0.Khi đó, A.∆x đư c g i là vi phân (c p 1) c a hàm s y = f(x) t i x0 . Ký hi udf(x0 ) hay dy(x0 ).Đ nh lý- Hàm s kh vi t i x0 khi và ch khi hàm s có đ o hàm t i x0 . Khi đó,A = f (x0 ).- N u hàm s có đ o hàm t i x0 thì bi u th c vi phân c a f(x) là df = f (x0 )dxVí d a) V i y = x3 thì dy = y dx = (x3 ) dx = 3×2 dx b) V i f(x) = ex thì df(x) = f (x)dx = (ex ) dx = ex dx Vi phân c a hàm s Khái ni mTính ch t (Vi phân c a t ng, tích và thương)T công th c tính đ o hàm t ng, tích và thương c a hai hàm s , ta có: 1) d(ku) = kdu 2) d(u + v) = du + dv 3) d(u.v) = udv + vdu u vdu − udv 4) = , v 0 v v2Ví d a) d(x3 + ex ) = d(x3 ) + d(ex ) = 3×2 dx + ex dx = (3×2 + ex )dx; b) d(x3 ex ) = ex d(x3 ) + x3 d(ex ) = 3×2 ex dx + x3 ex dx = x2 ex (x + 3)dx 16 Vi phân c a hàm s Vi phân c p cao và ng d ng vi phân vào tính g n đúngĐ nh nghĩa (Vi phân c p cao)Vi phân c p n c a hàm s y = f(x) là vi phân c a vi phân c p n − 1 c a f(x),kí hi u là dn f(x). dn y = d(dn−1 y) dn f(x) = d(dn−1 f(x)) = f (n) (x)dxnM t s quy t c tính vi phân c p cao 1) dn (cu) = cdn u 2) dn (u + v) = dn u + dn v n 3) dn (uv) = Ck dn−k u.dk v (d0 u = u, d0 v = v) n k=0N u ∆x → 0 thì f(x0 + ∆x) − f(x0 ) và f (x0 )∆x là 2 VCB tương đương. Do đó,khi |∆x| khá nh , ta có công th c g n đúng f(x0 + ∆x) ≈ f(x0 ) + f (x0 )∆x √Ví d : Tính g n đúng 4 15, 8 √Gi i. Xét hàm s f(x) = 4 x và x0 = 16, ∆x = −0, 2. Ta có f(x0 + ∆x) ≈ f(x0 ) + f (x0 )∆x = f(16) + f (16)(−0, 2) = 1, 9938 √Suy ra, 4 15, 8 ≈ 1, 9938 Các đ nh lý v giá tr trung bìnhĐ nh lý RolleN u f(x) liên t c trên , kh vi trên (a, b) và f(a) = f(b) thì ∃c ∈ (a, b) : f (c) = 0Đ nh lý Lagrange – Đ nh lý giá tr trung bìnhN u f(x) liên t c trên , kh vi trên (a, b) thì f(b) − f(a) ∃c ∈ (a, b) : f (c) = , a b b−aĐ nh lý CauchyN u f(x), g(x) liên t c trên , kh vi trên (a, b) và g (x) 0, ∀x ∈ (a, b) thì f(b) − f(a) f (c) ∃c ∈ (a, b) : = g(b) − g(a) g (c) ng d ng c a đ o hàm Công th c TaylorĐ nh lý (Công th c khai tri n Taylor t i x0 )Gi f(x) xác đ nh trong và f(x) có đ o hàm c p n + 1 trên (a, b). Khi đó,v i m i x0 ∈ (a; b) thì ta có th khai tri n f(x) dư i d ng sau: n f (k) (x0 ) f (x) = (x − x0 )k + Rn (x; x0 ) k! k=0Rn (x; x0 ) đư c g i là ph n dư b c n c a khai tri n TaylorLưu ý. 1) Ph n dư d ng Peano (khi không quan tâm đ n sai s ) Rn (x; x0 ) = 0((x − x0 )n ) 2) Ph n dư d ng Lagrange (khi c n đánh giá sai s ) f (n+1) (c) Rn (x; x0 ) = (x − x0 )n+1 v i c n m gi a x và x0 . (n + 1)! ng d ng c a đ o hàm Công th c TaylorKhai tri n Taylor c a hàm s t i x0 = 0 đư c g i là khai tri n Maclaurin.Khai tri n Maclaurin v i ph n dư Peano: n f (k) (0) k f (x) = x + 0(xn ). k! k=0Khai tri n Maclaurin v i ph n dư Lagrange: n f (k) (0) k f (n+1) (c) n+1 f (x) = x + x k! (n + 1)! k=0Ví dVi t khai tri n Maclaurin c a hàm s f(x) = ex .Gi i. Ta có f (x) = ex , f (x) = ex , . . . , f (n)(x) = ex =⇒ f (n) (0) = 1, ∀n ≥ 0 . Khiđó,v i θ ∈ (0, 1) f (0) f (0) 2 f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1 f(x) = 1 + x+ x + … + x + x 1! 2! n! (n + 1)!