Thông thường, S tam giác được tính bằng 1/2 tích của chiều cao hạ từ đỉnh với độ dài cạnh đối diện của đỉnh đó: (S=frac{1}{2}ah)
Trong đó:
a là chiều dài cạnh đáy h là chiều cao hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy
Chú ý: Chúng ta sẽ có 2 trường hợp là chiều cao nằm phía trong của tam giác và chiều cao nằm ngoài tam giác (tam giác tù)
– Ví dụ chiều cao nằm trong tam giác
– Ví dụ chiều cao nằm ngoài tam giác
Muốn tính S tam giác khi biết độ dài của 3 cạnh thì chúng ta sẽ sử dụng công thức Heron đã được chứng minh: (S =sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c) })
Với p = (a +b +c)/2
Hay chúng ta cũng có thể viết lại bằng công thức:
(S =frac{1}{4}sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)})
a, b, c lần lượt là độ dài của 3 cạnh tam giác
S tam giác bằng 1/2 tích của 2 cạnh kề nhân với sin của góc được tạo bởi 2 cạnh đó: (S_{ABC}= frac{1}{2}a.b.sinC = frac{1}{2}b.c.sinA=frac{1}{2}c.a.sinB)
Ngoài ra công thức tính diện tích ở trên ta còn có một số công thức mở rộng (muốn dùng phải chứng minh)
Công thức 1: (S=frac{abc}{4R})
Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh:
Từ định lý (frac{a}{sinA}=frac{b}{sinB}=frac{c}{sinC}=2R)
ta suy ra được ({sinC}=frac{C}{2R})
Thay vào công thức: (S= frac{1}{2}absinC) ta được
(S=frac{1}{2}ab.sinC=frac{1}{2}ab.frac{c}{2R}=frac{abc}{4R}) (đpcm)
Công thức 2: S = p.r
Trong đó p là nửa chu vi của tam giác
r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác
Chứng minh:
Xét tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, suy ra:
(S _{ABC}= S _{AIB} + S_{ BIC} + S_{CIA} = frac{1}{2}.AB.r + frac{1}{2}.BC.r + frac{1}{2}AC.r = frac{1}{2}(AB + BC + AC).r = p.r)
Với r = IE = IF = ID
Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau, vì thế chúng ta có thể dễ dàng áp dụng định lý Heron (Hê rông) để suy ra: (S=a^{2}.frac{sqrt{3}}{4})
Với a là độ dài cạnh của tam giác đều.
Đang xem: Diện tích tam giác theo bán kính đường tròn
Ví dụ: Cho tam giác đều có cạnh a= 3cm. Tính S tam giác.
Xem thêm: đồ án kết cấu thép 2 nhịp 24m
Giải: (S=a^{2}.frac{sqrt{3}}{4}=9.frac{sqrt{3}}{4} cm^2)
Cũng có thể áp dụng công thức tính diện tích thường cho S tam giác vuông chiều cao chính là 1 trong 2 cạnh góc vuông và cạnh đáy là cạnh còn lại.
Khi đó chúng ta sẽ có S ABC vuông tại B là:
(S_{ABC} = frac{1}{2}AB.BC
Cách tính S tam giác cân cũng tương tự như cách tính S tam giác thường:
a là độ dài cạnh đáy
h là chiều cao của tam giác
Ví dụ: Cho tam giác cân có chiều cao h = 6cm, độ dài cạnh đáy 4cm. Tính S tam giác.
Xem thêm: Phương Trình Sinx = 1/2 Có Nghiệm Của Phương Trình Sinx=1/2 Là
Giải: Ta có: (S = frac{1}{2}a.h=frac{1}{2}.6.4=12 cm^2)
Do tam giác vuông cân có cạnh đáy bằng chiều cao nên S tam giác được tính bằng một nửa bình phương cạnh đáy hoặc 1 nửa bình phương chiều cao.
(S=frac{1}{2}a^{2})
Với a là độ dài cạnh đáy
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = 3cm. Tính S tam giác ABC.
Giải: (S=frac{1}{2}AC^{2}=frac{1}{2}.3^{2}=4,5cm^2)