Cách Xét Dấu Các Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai Cực Hay, Có Đáp Án

Kết luận: .

Cách 3: Giải phương trình (1):

Ta có: <{{x}_{1}}=frac{-m-(m-4)}{2}=2-m>; <{{x}_{2}}=frac{-m+(m-4)}{2}=-2>

Do <{{x}_{2}}=-2

Ví dụ 2: Cho phương trình <{{x}^{2}}-2(m+3)x+4m-1=0> (2). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.

Xem thêm: Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Sbt, Sbt Toán 8 Bài 3: Bất Phương Trình Một Ẩn

Giải

Phương trình (2) có hai nghiệm dương

II/ So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ

Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta

có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2: <{{x}^{2}}+mx+1=0> (1)

Cách 1: Đặt y = x – 2 thay vào phương trình (1), ta được:

<{{left( y+2 ight)}^{2}}+mleft( y+2 ight)-1=0Leftrightarrow {{y}^{2}}+left( 4+m ight)y+3-2m=0> (2)

Ta cần tìm nghiệm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm.

0forall m>

. Điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm đều âm là :

Vậy với thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm tức là (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.

Cách 2:

Giải phương trình (1) ta được: <{{x}_{1}}=frac{-m+sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}>; <{{x}_{2}}=frac{-m-sqrt{{{m}^{2}}+4}}{2}>.

Ta thấy <{{x}_{1}}>{{x}_{2}}> nên chỉ cần tìm m để <{{x}_{1}}ge 2>. Ta có:

(3)

– Nếu thì (3) có vế phải âm, vế trái dương nên (3) đúng.

– Nếu -4> thì (3) . Ta được <-4le mle frac{-3}{2}>.

Gộp và <-4le mle frac{-3}{2}Rightarrow mle frac{-3}{2}> là giá trị cần tìm của m.

Ví dụ 2:

Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:

<3{{x}^{2}}-4x+2left( m-1 ight)=0> (1)

Giải

Cách 1: đặt thay vào (1) ta được:

<3{{left( y+2 ight)}^{2}}-4left( y+2 ight)+2left( m-1 ight)=0Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0> (2)

Cần tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:

Kết luận: Với <-1

Cách 2:

Xét phương trình (1). Giải điều kiện:

Giải (2) được

Giải (3): <{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-2left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} ight)+4>0Leftrightarrow frac{2left( m-1
ight)}{3}-2.frac{4}{3}+4>0Leftrightarrow m>-1>

Giải (4): <{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4

Vậy ra được <-1

Cách 3: giải phương trình (1): <{{Delta }^{"}}=4-6left( m-1 ight)=10-6m>

Nếu <{{Delta }^{"}}>0Leftrightarrow m

<{{x}_{1}}=frac{2-sqrt{10-6m}}{3}>; <{{x}_{2}}=frac{2+sqrt{10-6m}}{3}>

Do <{{x}_{1}}

<{{x}_{2}}-1>

Vậy ta được: <-1

III/ Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 1 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm

<{{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0> (1)

Giải

Đặt <{{x}^{2}}=yge 0>. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình <{{y}^{2}}+my+2m-4=0> có ít nhất một nghiệm không âm.

Theo kết quả ở VD1 mục I, các giá trị của m cần tìm là

Ví dụ 2: TÌm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình

(1) chỉ có 1 phần tử

Giải

Do đó tập nghiệm của phương trình (1) chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình (2) thoản mãn điều kiện . Đặt x –m =y. Khi đó phương trình (2) trở thành <2{{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}-1=0> (3)

Cần tìm m để có một nghiệm của phương trình (3) thỏa mãn .

Có 3 trường hợp xảy ra:

a) Phương trình (3) có nghiệm kép không âm

b) Phương trình (3) co s2 nghiệm trái dấu:

c) Phương trình (3) có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:

Kết luận hoặc <-1

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

(1)

Giải

(1)

Đặt <{{x}^{2}}+2x+1=yge 0>, khi đó (1) trở thảnh (2)

Với cách đặt ẩn phụ như trên, ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x.

Do đó:

(1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. Do đó, ở (2) ta phải có:

Bài tập đề nghị:

Bài 1: Tìm các giá trị của m để tồn tại nghiệm không âm của phương trình: <{{x}^{2}}-2x+left( m-2 ight)=0>

 Bài 2: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: <{{x}^{2}}+2mleft| x-2 ight|-4x+{{m}^{2}}+3=0>

 Bài 3: Tìm các giá trị của m để phương trình: 

có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1.

Xem thêm: Cách Xem Ảnh Iphone Trên Máy Tính Windows, Xem Ảnh Và Video Trong Icloud Cho Windows

Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: <{{x}^{2}}+mx-1=0> có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -2.