Mặt Tròn Xoay Là Gì? Định Nghĩa, Công Thức Diện Tích Mặt Tròn Xoay

Khối tròn xoay là một chủ đề không quá khó và hay gặp trong các đề thi THPT Quốc gia, vì vậy hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn một vài dạng toán hình học 12 về khối tròn xoay, mà chủ yếu tập trung ở hình trụ tròn xoay. Bài viết vừa tổng hợp những lý thuyết cơ bản, đồng thời cũng đưa ra ví dụ minh họa, phân loại dạng toán và những câu trắc nghiệm tự luyện, vừa để các bạn củng cố kiến thức, vừa rèn luyện tư duy giải quyết vấn đề. Hy vọng bài viết sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho bạn đọc. Cùng Kiến Guru khám phá nội dung nhé:

I. Ôn tập lý thuyết hình học 12: Hình trụ.

Đang xem: Công thức diện tích mặt tròn xoay

1. Mặt trụ tròn xoay:

Cho mặt phẳng (P) chứa hai đường Δ và l song song, cách nhau khoảng r. Khi xoay mp (P) quanh đường thẳng Δ thì đường thẳng l tạo thành một mặt tròn xoay gọi là mặt trụ tròn xoay.

Trong đó:

+ trục là Δ

+ đường sinh là l

+ bán kính mặt trụ là r.

2. Hình trụ tròn xoay:

Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh bất kì, ví dụ AB, thì đường gấp khúc ABCD tạo nên hình trụ tròn xoay, có thể gọi tắt là hình trụ.

Tương tự trên:

+ AB là trục.

+ CD là đường sinh.

+ Hình tròn tâm B, hình tròn tâm A có cùng bán kính r=AD được xem là 2 mặt đáy.

Công thức diện tích, thể tích.

Xét hình trụ tròn xoay có chiều cao h, bán kính đáy r (chiều cao của hình trụ tròn xoay cũng là độ dài đường sinh):

+ Diện tích xung quanh: Sxq=2πrh

+ Diện tích toàn phần: S=Sxq+2Sd=2πrh+2πr2

+ Thể tích: V= πr2h

Nhận xét:

Khi cắt mặt trụ tròn xoay:

+ Bởi 1 mặt phẳng vuông góc với trục thì ta thu được giao tuyến là 1 đường tròn có cùng bán kính với đáy, tâm thì nằm trên trục.

+ Bởi 1 mặt phẳng không vuông góc với trục, cắt toàn bộ đường sinh, ta thu được giao tuyến là 1 elip có trục nhỏ là 2r, trục lớn là 2r/sinϕ, với ϕ là góc giữa trục hình trụ và mặt phẳng đó (000)

+ Bởi 1 mặt phẳng song song với trục, gọi d là khoảng cách từ trục tới mặt phẳng đó, nếu

d

d=r, mặt phẳng tiếp xúc mặt trụ.

d>r, mặt phẳng không cắt mặt trụ.

II. Một số ví dụ giải bài hình học 12 về hình trụ.

Dạng 1: Diện tích, các thông số chiều cao, bán kính đáy.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Làm Văn Nghị Luận Xã Hội, Cách Làm Bài Văn Nghị Luận Xã Hội Lớp 7

VD1: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta thu được thiết diện là hình vuông có cạnh 3a. Hãy tính diện tích toàn phần của khối trụ.

Hướng dẫn giải:

Thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 3a nên ta có độ dài đường sinh sẽ là l=3a.

Bán kính đường tròn đáy là r=3a/2.

Từ đó dựa vào công thức tính diện tích toàn phần, ta có diện tích cần tìm là:

S=Sxq+2Sd=2πrl+2πr2=27a2π/2

VD2: Cho hình trụ có chiều cao là 3√2. Cắt hình trụ đã cho bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1. Thiết diện thu được có diện tích là 12√2. Diện tích xung quanh của hình trụ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

SABCD=12√2=3√2.CD, suy ra CD=4, CI=CD/2=2.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác OIC vuông tại I:

CO2=CI2+IO2=5, suy ra CO=√5=r

Vậy diện tích cần tìm là:

Sxq=2πrl=6π√10

VD3: Cho hình trụ có chiều cao là 5√3. Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trụ, cách trụ một khoảng là 1, thiết diện thu được có diện tích là 30. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho?

Hướng dẫn giải:

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai đáy, và ABCD là thiết diện song song với trục (biết rằng A, B ∈(O); C, D∈(O’))

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra OH=d(OO’,(ABCD))=1

Lại có SABCD=30, suy ra AB=30/BC=2√3 → HA=HB=√3

Bán kính của đáy: r2=OH2+HA2=4, vậy r=2.

Diện tích xung quanh của hình trụ:

Sxq=2πrh=20π√3

Dạng 2: Tính toán thể tích.

VD1: Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có cạnh là 2a. Tính thể tích khối trụ theo a?

Hướng dẫn giải:

Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a, suy ra đường sinh (hay cũng là chiều cao hình trụ) là 2a, bán kính đáy là 2a/2=a.

Vậy thể tích hình trụ đã cho là:

V=πr2l=2πa3

VD2: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4π và thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Hãy tính thể tích khối trụ?

Hướng dẫn giải:

Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông suy ra: l=h=2r

Lại có diện tích toàn phần là 4π, suy ra:

Dạng 3: Các vấn đề nội tiếp, ngoại tiếp.

VD1: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy là a, chiều cao là h. Tính thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho?

Hướng dẫn giải:

Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy của lăng trụ, chiều cao thì bằng chiều cao lăng trụ.

Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là: a/√3

Vậy thể tích của khối lăng trụ cần tìm là

V=h.S=πa2h/3

Chú ý: Một tam giác đều có cạnh là a thì bán kính đường tròn ngoại tiếp luôn có giá trị là a/√3, các bạn cần nhớ nhanh công thức này để tiện áp dụng sau này.

VD2: Cho hình trục có bán kính R và chiều cao là R√3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục d của hình trụ là 30°. Tính khoảng cách AB và trục của hình trụ đã cho?

Hướng dẫn giải:

III. Bài tập trắc nghiệm hình học 12 tự luyện.

Xem thêm: Khóa Học Đầu Tư Tài Chính Online, Khóa Học Đầu Tư Tài Chính Nào Phù Hợp Cho Bạn

Mời các bạn thử sức với một số câu trắc nghiệm bài tập toán hình học 12 dưới đây:

Đáp án:

Trên đây là tổng hợp những kiến thức hình học 12 về hình trụ mà Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn. Để ôn tập hiệu quả, trước tiên các bạn hãy tự suy nghĩ, giải bài tập rồi mới nên xem đáp án, mỗi lần như vậy, kiến thức sẽ được ghi nhớ một cách hiệu quả nhất.Hy vọng qua bài viết về hình học 12 này, các bạn sẽ tự định hình lại kiến thức và kỹ năng giải quyết bài toán của mình.