Chuyên Đề Phương Trình Mũ Và Logarit, Chuyên Đề 12

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARITMỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢNLý thuyết: Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng · a f ( x) = a g ( x) Û f ( x ) = g ( x ) · a f ( x ) = c Û f ( x ) = log a c , với a 0, a ¹ 1, c 0 Một số Phương pháp giải…

Đang xem: Chuyên đề phương trình mũ và logarit

Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢNLý thuyết:Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng· a f ( x) = a g ( x) Û f ( x ) = g ( x )· a f ( x ) = c Û f ( x ) = log a c , với a > 0, a ¹ 1, c > 0Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản:1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ sốDạng 1.1: Biến đổi về dạng a f ( x ) = a g ( x ) ax Lưu ý các công thức a x .a y = a x + y ; ( a x ) = ( a y ) = a xy ; y x 1 y = a x- y ; a – x = x . a a· Bài tập 1: Giải các phương trình sau: x -3 x x 2 – 7 x +12 æ1ö æ 1 ö a) 2 =1 x b) 5 . ç ÷ =ç ÷ è5ø è 125 ø ( ) 1 4 c) 2 x.5 x -1 = 0, 2.102 – x d) 2 x – 6.3x – 6 = 5 6 x -1 2 2 6 x x-1 æ9ö æ 8 ö lg 9 e) ç ÷ .ç ÷ = f) 5 x -1 = 10 x.2- x.5 x +1 è4ø è 27 ø lg 27 2 1 x +5 x +17 x- + g) 5 x 2 =5 5 h) 32 x -7 = 0, 25.128 x – 3 x ( x -4) 4 x-2 i) 5 x + 2. ( 0, 2 ) x +2 = 125.( 0,04 ) x – 4 j) 4 x.5 x +1 = 5.202 – x 1 k) 2 x 4 . ( 0,125 ) x x = 43 2 l) 43+ 2 cos 2 x – 7.41+ cos 2 x – 41/ 2 = 0Dạng 1.2: Biến đổi về dạng a f ( x ) = c· Bài tập 2: Giải các phương trình sau: x+4 x +1 2x -3 2( x +1) a) 5.4 +2 – 16 2 =3 b) 2 – 3.2 x -1 = 7 2x 3 x +1 x -1 2 x -3 x -1 c) 2 .3 – 2 3x x .3 = 192 d) 3 -9 + 27 3 = 675Dạng 1.3: Biến đổi về dạng m.a f ( x ) = n.b f ( x ) . (m, n là các số thực) f ( x) a () n æaö f x n Sau đó đưa về dạng f ( x ) = Û ç ÷ = (Có Dạng 1.2). b m èbø m Nhận dạng: Loại này có 2 cơ số khác nhau. Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ sốbằng nhau về cùng một vế, sau đó biến đổi cho số mũ của các lũy thừa đó bằng nhau và làmtiếp như trên.· Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a) 3x + 4 – 5 x + 3 = 3x – 5 x + 2 b) 7.3x +1 – 5 x + 2 = 3x + 4 – 5 x + 3 Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 1/8 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” 1 1 c) 22 lg 4 x -1 – 7lg 4 x = 7lg 4 x -1 – 3.4lg 4 x d) 3.4 x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 – .9 x +1 3 4 e) 2 x -1 – 3x = 3x -1 – 2 x + 2 f) 9 x – 2 x + 0,5 = 2 x + 3,5 – 32 x -1 2 2 2 2Dạng 1.4: Biến đổi về phương trình tích· Bài tập : Giải các phương trình sau: a) 52 x = 32 x + 2.5 x + 2.3x b) x 2 .2 x + 8 = 2 x 2 + 2 x + 2 c) x 2 .6- x + 6 x + 2 = x 2 .6 x + 62 – x d) 8 – x.2 x + 23- x – x = 0 Hướng dẫn: a) 52 x – 32 x = 5 x – 3x ( )(5x + 3x )2. Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậchai, bậc 3 theo ẩn số phụ)Dạng 2.1: Biến đổi về dạng m.a 2 f ( x ) + n.a f ( x ) + p = 0 . (1)Phương pháp:Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (1). ( ) 2Bước 1: Đặt t = a f ( x ) , t > 0 . Ta có t 2 = a f ( x ) 2 f ( x) =a . ìm.t 2 + n.t + p = 0 (*)PT đã cho trở thành í . ît > 0Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 .Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình a f ( x ) = t để tìm x.Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1)).· Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a) 32 x + 5 = 3x + 2 + 2 b) 9 x -1 – 36.3x -3 + 3 = 0 2 2 x x c) 3.2 2 – 7.2 4 = 20 d) 27 x – 13.9 x + 13.3x+1 – 27 = 0 1 3 2 3x +3 3+ e) 64 x -2 x + 12 = 0 f) 8x -2 x + 12 = 0 ( ) + (10 3 ) x x-10 g) 5 3 = 84 h) 34 x +8 – 4.32 x + 5 + 28 = 2log 2 2 i) 32 x +1 = 3x + 2 + 1 – 6.3x + 3 ( ) 2 x +1 k) 1Dạng 2.2: Biến đổi về dạng m.a f ( x ) + n.a – f ( x ) + p = 0 hay m.a f ( x ) + n. f ( x) + p = 0 (2) aPhương pháp:Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (2). 1 1Bước 1: Đặt t = a f ( x ) , t > 0 . Ta có a – f ( x ) = f ( x ) = . a t n ìm.t 2 + p.t + n = 0 (*)PT đã cho trở thành mt + + p = 0, ( t > 0 ) Û í . t ît > 0Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 .Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình a f ( x ) = t để tìm x.Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2)).Trang 2/8 Biên soạn: Đỗ Cao Long Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”· Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) 3x +1 + 18.3- x = 29 b) 22 + x – 22 – x = 15 c) 5 x -1 + 5.0, 2 x – 2 = 26 2 2 d) 2sin x + 4.2cos x = 6 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x e) 5 + 24 + 5 – 24 = 10 f) 7 + 48 + 7 – 48 = 14 2 x + 10 9 h) 101+ x – 101- x = 99 2 2 g) = x- 2 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x i) 3 + 5 + 16 3 – 5 = 2 x+3 j) 5 -1 +6 5 +1 = 2 x+ 2 k) ( 5 – 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) ( ) ( ) x x x x = 2 x+3 l) 7 – 4 3 -3 2- 3 +2=0 f ( x)Dạng 2.3: Biến đổi về dạng m.a 2 f ( x ) + n. ( a.b ) 2 f ( x) + p.b = 0 . (m, n, p là các số thực) (3)Phương pháp:Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (3).Bước 1: Chia cả hai vế của (3) cho b 2 f ( x ) , (hoặc a 2 f ( x ) ), ta được: 2 f ( x) a 2 f ( x) a f ( x ) .b f ( x ) b2 f ( x) æaö a () f xm. 2 f ( x ) + n. 2 f ( x ) + p. 2 f ( x ) = 0 Û m. ç ÷ + n. + p=0 èbø b () f x b b b 2 f ( x) f ( x) æaö æaöÛ mç ÷ + nç ÷ + p = 0. èbø èbøPhương trình này có Dạng 2.1, đã biết cách giải. æ æ a ö f ( x ) ö æ a ö2 f ( x) 2 f ( x) æaöBước 2: Đặt t = ç ÷ , t > 0 .

Xem thêm: Cách Tắt Tính Năng Live Photo Trên Iphone X, Tắt Livephoto Trên Iphone X

Xem thêm: hướng dẫn Mẫu Powerpoint Bảo Vệ Đồ Án Tốt Nghiệp Thành Công Nhất

Ta có t = ç ç ÷ ÷ = ç ÷ . 2 èbø çè b ø ÷ è b ø è ø ìm.t 2 + n.t + p = 0 (*)PT đã cho trở thành í . ît > 0Bước 3: Giải (*), tìm nghiệm t > 0 . f ( x) æaöBước 4: Với t tìm được, giải phương trình ç ÷ = t để tìm x. èbøBước 5: Kết luận (nghiệm của (3)).· Bài tập 6: Giải các phương trình sau: 1 1 1 – – – 2x+4 2x+2 a) 3 + 45.6 – 9.2 x =0 b) 4 x +6 x =9 x x2 x2 x2 c) 7.4 – 9.14 + 2.49 =0 d) 9 + 6 = 22 x+1 x x 2 1 1 f) 32 x – 6 x + 9 + 4.15 x + 3 x – 5 = 3.52 x – 6 x + 9 2 2 2 e) 10 x + 25 x = 4, 25.50 x3. Phương pháp lôgarit hóaNhận dạng: Phương trình loại này thường có dạng a ( ) .b ( ) .c ( ) = d . f x g x h xNói chung, là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau.Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b, hoặc c) cả hai vế. Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 3/8 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” (Ta được log a a ( ) .b ( ) .c ( ) = log a d f x g x h x )Û log a a ( ) + log a b ( ) + log a c ( ) = log a d f x g x h xÛ f ( x ) + g ( x ) log a b + h ( x ) log a c = log a d .Biết log a b;log a c;log a d là các số thực. Giải phương trình thu được theo ẩn x.· Bài tập: Giải các phương trình sau: 2 x x a) 2 x = 3x-1 b) 57 = 75 x c) 3 x .8 x+ 2 =6 d)4. Phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.(Phương pháp đánh giá hai vế).· Dạng “sử dụng tính đơn điệu”- Thường biến đổi phương trình đã cho về dạng f ( x ) = g ( x ) , hay f ( x ) = cVới phương trình f ( x ) = g ( x ) , chúng ta thường gặp trường hợp x = a là nghiệm của phươngtrình, còn với mọi x ¹ a thì f ( x ) > b và g ( x ) b và g ( x ) Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” x -1 x æ1ö æ1ö æ1ö Với mọi x > -1 ta có : ç ÷ -1 + 4 = 3 (2) So sánh (1) và (2) ta nhận thấy mọi x > -1 không thỏa mãn phương trình đã cho. Nghĩa làmọi x > -1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Tương tự ta chứng minh được, mọi x Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit” MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢNLý thuyết:Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng ì f ( x ) > 0, ( hoÆc g ( x ) > 0 ) ï· log a f ( x ) = log a g ( x ) Û í ï f ( x) = g ( x) î· log a f ( x ) = c Û f ( x ) = a c , với a > 0, a ¹ 1 .Ngoài ra cần hcọ thuộc và sử dụng đúng các công thức biến đổi lôgarit.Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản:1. Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ sốDạng 1.1: Biến đổi về dạng log a f ( x ) = log a g ( x ) Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm điều kiện xác định của phương trình log a f ( x ) = log a g ( x ) ì f ( x) > 0 ï thì cần giải hệ (hoặc nêu ra) í . ï î g ( x) > 0 ì f ( x ) > 0, ( hoÆc g ( x ) > 0 ) ï Còn nếu giải theo phép biến đổi log a f ( x ) = log a g ( x ) Û í thì ï î f ( x) = g ( x) không cần nêu hệ điều kiện xác định ở trên. Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên đổi, do vậy khuyên các em nên nêu ra hệ điều kiện xác định của phương trình trước khi giải. Vì có nhiều phương trình chứa nhiều lôgarit.· Bài tập 1: Giải các phương trình sau ( a) log 2 x 2 – 4 x + 7 = 2 ) b) 2log 2 x + log 2 x + log 1 x = 9 2 c) log 3 x + log 3 x + log 1 x = 6 d) log 3 ( x – 2 ) + log1/3 2 x – 1 = 0 3 1 e) 2log x 2 – 36 + log ( x + 1) = log ( x + 6 ) + 2 log 3 + log 2 3 3 x-3 x -3 f) 1 2 ( log x + lg 2 ) + log ( ) 2 x + 1 = log 6 g) 2log 3 x-7 + 1 = log 3 x -1 h) log 1 + x + 3log 1 – x = log 1 – x 2 – 2 ( ) i) log 3 2 x 2 – 54 + log 1 ( x + 3) = 2log 9 ( x – 4 ) 3 ( ) j) log 3 x + 12 x + 19 – log ( 3 x + 4 ) = 1 2 k) log 3 ( x – 5 ) – log 3 2 – log 3 3x – 20 = 0 log ( 2 x – 19 ) – log ( 3x – 20 ) m) = -1 log x 1 ( ) ( n) log x 2 – 10 x + 25 + log x 2 – 6 x + 3 = 2log ( x – 5 ) + log 3 2 )Trang 6/8 Biên soạn: Đỗ Cao Long Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”2. Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậchai, bậc 3 theo ẩn số phụ)Lưu ý: Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức log a f ( x ) có nghĩa là f ( x ) > 0 , chúng ta cầnchú ý đến đặc điểm của phương trình đang xét (chứa căn bậc hai, chứa ẩn ở mẫu) và phải đặtđiều kiện cho phương trình có nghĩa.Các phép biến đổi cần chú ý: log a x 2 n = 2n log a x với điều kiện x ¹ 0 .· Bài tập 2: Giải các phương trình sau a) 4 – log x = 3 log x b) log 2 2 x + 3log 2 x + log 1 x = 2 2 log 2 x – log 2 x – 2 log ( 6 – x ) 1 c) 2 =1 d) = log 2 x + 1 2 3log ( 6 – x ) – 1 ( ) e) log 3 3x – 1 .log3 3x+1 – 3 = 6 ( ) f) 1 + log 2 x + 4log 4 x – 2 = 4 1 + log ( x – 1) 2 æ 4 ö g) + =2 h) log 3 ( log 2 x – 9 ) = 2 + log3 ç 1 – ÷ 1 + log 2 ( x – 1) 1 + log ( x – 1) è log 4 x ø i) log 2 x – log x 6 = log 2 3 – 9 j) log (10 x ) .log ( 0,1x ) = log x3 – 3 1 k) 4log 2 ( – x ) + 2 log 4 x 2 + 1 = 0 4 l) log 2 (100 x ) + log 2 (10 x ) = 14 + log x ( m) log 2 x 2 + 7 = 5 + log 2 x -) æ 6 7ö log 2 ç x + ÷ è xø æ 2ö x n) ç log 2 x + 2log 0,5 ÷ ( 3log8 x – 1) = 2log 2 x .log 2 2 2 è 4 ø 2 p) 2log 9 x = log 3 x.log3 2 ( 2x + 1 -1 )3. Phương pháp mũ hóa· Bài tập 3 : Giải các phương trình sau: a) log 2 x + log 3 x = 1 b) log 3 x + log5 x = lg15 c) log 3 ( x + 1) + log5 ( 2 x + 1) = 2 d) log 2 x = log5 ( x + 3)Gợi ý: a) Đặt x = 2t , ta có log 3 x = log 3 2t = t log 3 2 Phương trình đã cho trở thành log 2 2t + log3 2t = 1 1 1 Û t + t log3 2 = 1 Û t (1 + log 3 2 ) = 1 Û t = = = log 6 3 . 1 + log 3 2 log3 6 Vậy phương trình a) có nghiệm x = 2log 6 3 . Biên soạn: Đỗ Cao Long Trang 7/8 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”4. Phương trình lôgarit nhiều cấp (tầng)Phương pháp: Hạ từng cấp một từ ngoài vào trong theo tính chất log a f ( x ) = c Û f ( x ) = a c· Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a) log ( log ( log x ) ) = 0 ( ( b) log 3 log 4 log3 ( x – 3) 2 )) = 0 ( ( c) log 4 2log3 1 + log 2 (1 + 3log3 x ) )) = 1 2 d) log 3 æ log 2 x – 3log 1 x + 5 ö = 2 ç è 1 2 ÷ 2 ø e) ( 2 log 3 log 2 ( x – 4)) = 0 f) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 25. Phương pháp biến đổi về phương trình tích· Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) 3x.log 3 x + 6 = 6 x + log 27 x b) 2 x.log 2 x 2 + 2 = 4 x + 4log 4 x æ 1ö 2æ 1ö c) log 2 ( 4 – x ) + log ( 4 – x ) .log ç x + ÷ = 2log ç x + ÷ è 2ø è 2ø ( ) d) x 2 log 6 5 x 2 – 2 x – 3 – x log1/6 5 x 2 – 2 x – 3 = x 2 + 2 x6. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm sốChú ý dạng: log a u – u = log a v – v , có dạng f ( u ) = f ( v ) Û u = v trong trường hợp f làhàm số đồng biến (hoặc nghịc biến) trên tập xác định của nó. Và phương pháp đánh giá hai vếcủa phương trình.· Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a) log 2 x = 3 – x ( ) b) x + log x 2 – x – 6 = 4 + log ( x + 2 ) x2 + x + 3 c) log 1 x = x – 4 d) log 3 = x2 + 3x + 2 3 2x + 4x + 5 2 ( ) e) log x 2 – x – 12 + x = log ( x + 3) + 5 ( ) f) log 3 x 2 + x + 1 – log3 x = 2x – x 2Gợi ý: a) Điều kiện xác định: x > 0 . Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình a). Ta chứng minh nghiệm này duy nhất. Thật vậy, với mọi x > 2 , ta có : · log 2 x > log 2 2 = 1 (do hàm số y = log 2 x đồng biến trên khoảng ( 0;+¥ ) ) (1) · 3- x 2 đều không thỏa mãn phương trình a), nên không phải lànghiệm của phương trình. Làm tương tự ta chứng minh được mọi 0