Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Violet, Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Violet

Bài viết hướng dẫn nhận dạng và cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 cùng các bài toán có liên quan đến hệ phương trình đối xứng loại 2.

I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: $left{ egin{array}{l}fleft( {x;y}
ight) = a\fleft( {y;x}
ight) = aend{array}
ight.$ $(*).$2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2:Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: $fleft( {x;y}
ight) – fleft( {y;x}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x – y}
ight)gleft( {x;y}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = y\gleft( {x;y} ight) = 0end{array} ight.$3. Chú ý:+ Nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}}
ight)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}}
ight)$ cũng là nghiệm của hệ phương trình $(*)$. Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình $(*)$ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$+ $fleft( {x;y}
ight) + fleft( {y;x}
ight) = 2a$ là một phương trình đối xứng.

II. VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ egin{array}{l}{x^2} = 3x + 2y\{y^2} = 3y + 2xend{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}{x^3} + 1 = 2y\{y^3} + 1 = 2xend{array}
ight.$

1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được:${x^2} – {y^2} = x – y$ $ Leftrightarrow left( {x – y}
ight)left( {x + y – 1}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = y\x = 1 – yend{array} ight.$+ Với $x = y Rightarrow {x^2} = 3x$ $ Leftrightarrow x = 0,x = 3.$+ Với $x = 1 – y$ $ Rightarrow {y^2} = 3y + 2left( {1 – y} ight)$ $ Leftrightarrow {y^2} – y – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}y = – 1 Rightarrow x = 2\y = 2 Rightarrow x = – 1end{array} ight.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left( {x;y} ight) = left( {0;0} ight),left( {3;3} ight)$, $left( { – 1;2} ight),left( {2; – 1} ight).$2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:${x^3} – {y^3} = 2left( {y – x} ight)$ $ Leftrightarrow left( {x – y} ight)left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do ${x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0$, $forall x,y$).Thay vào hệ phương trình, ta được:${x^3} + 1 = 2x$ $ Leftrightarrow left( {x – 1}
ight)left( {{x^2} + x – 1}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$, $x = frac{{ – 1 pm sqrt 5 }}{2}.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $left< egin{array}{l}x = y = 1\x = y = frac{{ – 1 pm sqrt 5 }}{2}end{array} ight.$

Ví dụ 2.

Đang xem: Chuyên đề hệ phương trình đối xứng loại 1 violet

Xem thêm: cách tính điểm chuẩn đại học mở

Xem thêm: Các Phương Trình Tác Dụng Với H2S (Hidro Sunfua), H2 + S = H2S

Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ egin{array}{l}frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\frac{3}{{{y^2}}} = 2y + xend{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}sqrt {x + 9} + sqrt {y – 7} = 8\sqrt {y + 9} + sqrt {x – 7} = 8end{array}
ight.$

1. Điều kiện: $x,y
e 0.$Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}2{x^3} + {x^2}y = 3\2{y^3} + {y^2}x = 3end{array}
ight.$ $ Rightarrow 2left( {{x^3} – {y^3}}
ight) + xyleft( {x – y}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x – y}
ight)left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $2{x^2} + 3xy + 2{y^2}$ $ = 2{left( {x + frac{3}{4}y}
ight)^2} + frac{7}{8}{y^2} > 0$).Thay vào hệ phương trình, ta được: $3{x^3} = 3$ $ Leftrightarrow x = 1 = y.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=1.$2. Điều kiện: $x,y ge 7.$Trừ hai phương trình của hệ, ta được:$sqrt {x + 9} + sqrt {y – 7} $ $ = sqrt {y + 9} + sqrt {x – 7} $ $ Leftrightarrow sqrt {left( {x + 9}
ight)left( {y – 7}
ight)} $ $ = sqrt {left( {y + 9}
ight)left( {x – 7}
ight)} $ $ Leftrightarrow x = y.$Thay vào hệ phương trình, ta được:$sqrt {x + 9} + sqrt {x – 7} = 8$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}sqrt {x + 9} + sqrt {x – 7} = 8\sqrt {x + 9} – sqrt {x – 7} = 2end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}sqrt {x + 9} = 5\sqrt {x – 7} = 3end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow x = 16.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=16.$

Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ egin{array}{l}sqrt x + sqrt {2 – y} = 2\sqrt y + sqrt {2 – x} = 2end{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}sqrt {5x + 1} + sqrt {12 – y} = 7\sqrt {5y + 1} + sqrt {12 – x} = 7end{array}
ight.$

1. Điều kiện: $0 le x,y le 2.$Trừ hai phương trình của hệ, ta được:$sqrt x – sqrt {2 – x} $ $ = sqrt y – sqrt {2 – y} $ $left( *
ight).$Do hàm số $fleft( t
ight) = sqrt t + sqrt {2 – t} $ là một hàm liên tục và đồng biến trên $(0;2).$Nên $left( *
ight) Leftrightarrow f(x) = f(y)$ $ Leftrightarrow x = y.$Thay vào hệ phương trình, ta có:$sqrt x + sqrt {2 – x} = 2$ $ Leftrightarrow sqrt {xleft( {2 – x}
ight)} = 1$ $ Leftrightarrow x = 1.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: $x=y=1.$2. Điều kiện: $left{ egin{array}{l}– frac{1}{5} le x le 12\– frac{1}{5} le y le 12end{array}
ight.$Trừ hai phương trình của hệ, ta được:$sqrt {5x + 1} – sqrt {12 – x} $ $ = sqrt {5y + 1} – sqrt {12 – y} $ $(*).$Xét hàm số: $fleft( t
ight) = sqrt {5t + 1} – sqrt {12 – t} $, $t in left< { – frac{1}{5};12} ight>$, ta có:$f’left( x
ight) = frac{5}{{2sqrt {5t + 1} }} + frac{1}{{2sqrt {12 – t} }} > 0$, $forall t in left( { – frac{1}{5};12}
ight).$Suy ra: $left( *
ight) Leftrightarrow fleft( x
ight) = fleft( y
ight)$ $ Leftrightarrow x = y.$Thay $x=y$ vào hệ phương trình, ta được:$sqrt {5x + 1} + sqrt {12 – x} = 7$ $ Leftrightarrow 4x + 13$ $ + 2sqrt {left( {5x + 1}
ight)left( {12 – x}
ight)} = 49$ $ Leftrightarrow sqrt { – 5{x^2} + 59x + 12} = 18 – 2x$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x le 9\9{x^2} – 131x + 312 = 0end{array}
ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=y=3.$Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:1. $left{ egin{array}{l}{x^3} = 2x + y\{y^3} = 2y + xend{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}left( {x – 1}
ight)left( {{y^2} + 6}
ight) = yleft( {{x^2} + 1}
ight)\left( {y – 1}
ight)left( {{x^2} + 6}
ight) = xleft( {{y^2} + 1}
ight)end{array}
ight.$

1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:${x^3} – {y^3} = x – y$ $ Leftrightarrow left( {x – y}
ight)left( {{x^2} + xy + {y^2} – 1}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = y\{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0end{array} ight.$+ Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^3} = 3x$ $ Leftrightarrow x = 0$, $x = pm sqrt 3 .$+ Với ${x^2} + xy + {y^2} = 1$ $left( 1 ight)$, cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: ${x^3} + {y^3} – 3left( {x + y} ight) = 0$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình: $left{ egin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0\{x^3} + {y^3} – 3left( {x + y} ight) = 0end{array} ight.$Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có: $left{ egin{array}{l}{S^2} – P – 1 = 0\{S^3} – 3SP – 3S = 0end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}P = {S^2} – 1\{S^3} – 3Sleft( {{S^2} – 1} ight) – 3S = 0end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 0\P = – 1end{array} ight.$$ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x = 1\y = – 1end{array} ight.$ hoặc $left{ egin{array}{l}x = – 1\y = 1end{array} ight.$Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: $left{ egin{array}{l}x = 0\y = 0end{array} ight.$, $left{ egin{array}{l}x = – 1\y = 1end{array} ight.$, $left{ egin{array}{l}x = 1\y = – 1end{array} ight.$, $left{ egin{array}{l}x = sqrt 3 \y = sqrt 3end{array} ight.$, $left{ egin{array}{l}x = – sqrt 3 \y = – sqrt 3end{array} ight.$2. Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x{y^2} + 6x – {y^2} – 6 = y{x^2} + y\y{x^2} + 6y – {x^2} – 6 = x{y^2} + xend{array} ight.$Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được:$2xyleft( {y – x} ight) + 7left( {x – y} ight)$ $ + left( {x – y} ight)left( {x + y} ight) = 0$ $ Leftrightarrow left( {x – y} ight)left( {x + y – 2xy + 7} ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = y\x + y – 2xy + 7 = 0end{array} ight.$+ Với $x=y$, thay vào hệ phương trình, ta được: ${x^2} – 5x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}x = y = 2\x = y = 3end{array} ight.$+ Với $x+y-2xy+7=0$ $(1)$, cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: ${x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0$ $left( 2 ight).$Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình: $left{ egin{array}{l}x + y – 2xy + 7 = 0\{x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0end{array} ight.$Đặt $S=x+y$, $P=xy$, ta có hệ phương trình:$left{ egin{array}{l}S – 2P + 7 = 0\{S^2} – 5S – 2P + 12 = 0end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}P = frac{{S + 7}}{2}\{S^2} – 6S + 5 = 0end{array} ight.$ $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}S = 1\P = 4end{array} ight.$ hoặc $left{ egin{array}{l}S = 5\P = 6end{array} ight.$+ Với $left{ egin{array}{l}S = 1\P = 4end{array} ight.$, ta thấy hệ vô nghiệm.+ Với $left{ egin{array}{l}S = 5\P = 6end{array} ight.$, ta có: $left{ egin{array}{l}x = 2\y = 3end{array} ight.$ hoặc $left{ egin{array}{l}x = 3\y = 2end{array} ight.$Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: $left( {x;y} ight) = left( {2;2} ight),left( {3;3} ight)$, $left( {2;3} ight),left( {3;2} ight).$

Ví dụ 5. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm: $left{ egin{array}{l}2x + sqrt {y – 1} = m\2y + sqrt {x – 1} = mend{array}
ight.$

Điều kiện: $x,y ge 1$. Đặt $a = sqrt {x – 1} $, $b = sqrt {y – 1} $ $ Rightarrow a,b ge 0$, ta có:$left{ egin{array}{l}2{a^2} + b = m – 2\2{b^2} + a = m – 2end{array}
ight.$ $ Rightarrow 2left( {a – b}
ight)left( {a + b}
ight)$ $ + b – a = 0$ $ Leftrightarrow left( {a – b}
ight)left( {2a + 2b – 1}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}a = b\a = frac{{1 – 2b}}{2}end{array} ight.$+ Với $a = b$ $ Rightarrow 2{a^2} + a = m – 2$ $ Rightarrow $ Phương trình có nghiệm $a ge 0$ $ Leftrightarrow m – 2 ge 0$ $ Leftrightarrow m ge 2.$+ Với $a = frac{{1 – 2b}}{2}$ $ Rightarrow left{ egin{array}{l}0 le b le frac{1}{2}\4{b^2} – 2b = 2m – 5end{array} ight.$, hệ phương trình có nghiệm $ Leftrightarrow – frac{1}{4} le 2m – 5 le 0$ $ Leftrightarrow frac{{19}}{8} le m le frac{5}{2}.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $m ge 2.$

Ví dụ 6. Tìm $m$ để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:1. $left{ egin{array}{l}x = {y^2} – y + m\y = {x^2} – x + mend{array}
ight.$2. $left{ egin{array}{l}3{x^2} = {y^3} – 2{y^2} + my\3{y^2} = {x^3} – 2{x^2} + mxend{array}
ight.$

1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}}
ight)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}}
ight)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$Thay vào hệ ta được: $x_0^2 – 2{x_0} + m = 0$, phương trình này có nghiệm duy nhất $ Leftrightarrow Delta’ = 1 – m = 0$ $ Leftrightarrow m = 1.$Điều kiện đủ: Với $m = 1$ hệ trở thành:$left{ egin{array}{l}x = {y^2} – y + 1\y = {x^2} – x + 1end{array}
ight.$ $ Rightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2 = 0$ $ Leftrightarrow {left( {x – 1}
ight)^2} + {left( {y – 1}
ight)^2} = 0$ $ Leftrightarrow x = y = 1$ (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ).Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m = 1.$2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}}
ight)$ thì $left( {{y}_{0}};{{x}_{0}}
ight)$ cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết ${{x}_{0}}={{y}_{0}}.$Thay vào hệ ta được: $x_0^3 – 5x_0^2 + m{x_0} = 0$ $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}{x_0} = 0\x_0^2 – 5{x_0} + m = 0left( * ight)end{array} ight.$Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì $(*)$ phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $x = 0.$$ Leftrightarrow left< egin{array}{l}Delta = 25 – 4m left{ egin{array}{l}Delta = 25 – 4m = 0\5 = 0end{array} ight.end{array} ight.$ $ Leftrightarrow m > frac{{25}}{4}.$Điều kiện đủ: Với $m > frac{{25}}{4}$, ta có:$left< egin{array}{l}3{x^2} = yleft( {{y^2} – 2y + m} ight) = yleft< {{{left( {y – 1} ight)}^2} + m – 1} ight>\3{y^2} = xleft( {{x^2} – 2x + m}
ight) = xleft< {{{left( {x – 1} ight)}^2} + m – 1} ight>end{array}
ight.$ $ Rightarrow x,y ge 0.$Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được:$xleft( {{x^2} – 5x + m}
ight)$ $ + yleft( {{y^2} – 5y + m}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow xleft< {{{left( {x – frac{5}{2}} ight)}^2} + m – frac{{25}}{4}} ight>$ $ + yleft< {{{left( {y – frac{5}{2}} ight)}^2} + m – frac{{25}}{4}} ight> = 0$ $ Leftrightarrow x = y = 0.$Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m > frac{{25}}{4}.$

Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình $left{ egin{array}{l}2{x^2} = y + frac{{{a^2}}}{y}\2{y^2} = x + frac{{{a^2}}}{x}end{array}
ight.$ có nghiệm duy nhất với mọi $a
e 0.$

Điều kiện: $x
e 0.$Từ hai phương trình của hệ $ Rightarrow x,y > 0.$Hệ phương trình $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\2{y^2}x = {x^2} + {a^2}end{array}
ight.$ $ Rightarrow 2xyleft( {x – y}
ight) = {y^2} – {x^2}$ $ Leftrightarrow left( {x – y}
ight)left( {2xy + x + y}
ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = y$ (do $x,y > 0$ $ Rightarrow 2xy + x + y > 0$).Thay vào hệ phương trình, ta được: ${a^2} = 2{x^3} – {x^2} = fleft( x
ight)$ $(*).$Xét hàm số: $fleft( x
ight) = 2{x^3} – {x^2}$ với $x>0.$Ta có: $f’left( x
ight) = 2xleft( {3x – 1}
ight)$ $ Rightarrow f’left( x
ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = frac{1}{3}.$Mà $fleft( 0
ight) = 0$, $fleft( {frac{1}{3}}
ight) = – frac{1}{{27}}$ và ${a^2} > 0$ nên phương trình $(*)$ chỉ có duy nhất một nghiệm.Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi $a
e 0.$