Kiến Thức Chương 4 Bất Đẳng Thức Và Bất Phương Trình, Chương Iv: Bất Đẳng Thức

HỌC247 xin gửi đến các em tài liệu Ôn tập Toán 10 Chương 4tổng hợp các kiến thức về Bất đẳng thức và Bất phương trình sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học ở Chương 4. Thông quasơ đồ tư duy, các em sẽ có được cách ghi nhớ bài một cách dễ dàng, hiệu quả. Bên cạnh đó, HỌC247 còn cung cấp thêm nội dung chi tiết các bài học của chương cùng phần hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK với đầy đủ nội dung, chi tiết. Ngoài ra, sau mỗi bài học sẽ có phần trắc nghiệm đi kèm được biên soạn theo hình thức trắc nghiệm online nhằm giúp các em củng cố kiến thức. HỌC247 có tổng hợp thêm một số đề kiểm tra 1 tiết Chương 4, các em có thể làm bài trực tuyến hoặc tải file đề về máy. Mời các em cùng tham khảo.

Đang xem: Chương 4 bất đẳng thức và bất phương trình

YOMEDIA

Đề cương Ôn tập Toán 10 Chương 4

A. Tóm tắt lý thuyết

“Hệ thống về kiến thức”

“Hệ thống về kỹ năng”

1.1. Bất đẳng thức

a) Tính chất

* (a > b) và (b > c Rightarrow a > c)

* (a > b Leftrightarrow a + c > b + c)

* (a > b) và (c > d Rightarrow a + c > b + d)

* Nếu (c > 0) thì (a > b Leftrightarrow ac > bc)

Nếu (c b Leftrightarrow ac b ge 0 Rightarrow sqrt a > sqrt b )

* (a ge b ge 0 Leftrightarrow {a^2} ge {b^2})

* (a > b ge 0 Rightarrow {a^n} > {b^n})

b) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

* ( – left| a
ight| le a le left| a
ight|) với mọi số thực (a) .

* (left| x
ight| 0))

* (left| x
ight| > a Leftrightarrow left< egin{array}{l}x > a\x 0))

c) Bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

+) Đối với hai số không âm

Cho (a ge 0,,,b ge {
m{0}}), ta có (frac{{a + b}}{2} ge sqrt {ab} ). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (a = b)

Hệ quả:

* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

+) Đối với ba số không âm

Cho (a ge 0,,,b ge 0,,,c ge 0), ta có (frac{{a + b + c}}{3} ge sqrt<3>{{abc}}). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (a = b = c)

d) Các dạng toán

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất cơ bản

Để chứng minh bất đẳng thức (BĐT) (A ge B) ta có thể sử dụng các cách sau:

Ta đi chứng minh (A – B ge 0). Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích (A – B) thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.

Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúngLoại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh​

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt

* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng

(a in left< {alpha ;eta } ight> Rightarrow left( {a – alpha }
ight)left( {a – eta }
ight) le 0) (left( *
ight))

(a,b,c in left< {alpha ;eta } ight> Rightarrow left( {a – alpha }
ight)left( {b – alpha }
ight)left( {c – alpha }
ight) + left( {eta – a}
ight)left( {eta – b}
ight)left( {eta – c}
ight) ge 0left( {**}
ight))

Dạng 2:Sử dụng bđt Cô si để chứng minh bđt và tìm GTLN, NN

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cô si:

Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âmBĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tíchĐiều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhauBất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

Đối với hai số: ({x^2},, + ,{y^2},, ge ,,2xy;,,,,,,,,{x^2},, + ,{y^2},, ge ,,frac{{{{(x, + ,y)}^2}}}{2};,,,,,,,xy le ,,{left( {frac{{x + y}}{2}}
ight)^2}).

Đối với ba số: (abc le frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{3},,,abc le {left( {frac{{a + b + c}}{3}}
ight)^3})

1.2.Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

a) Giải và biện luận bất phương trình dạng (ax + b 0) thì (left( 1
ight) Leftrightarrow x – frac{b}{a}) suy ra tập nghiệm là (S = left( { – frac{b}{a}; + infty }
ight))

Các bất phương trình dạng (ax + b > 0,,,ax + b le 0,,,ax + b ge 0) được giải hoàn toán tương tự

b) Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

1.3.Dấu của nhị thức bậc nhất

a) Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất

Định lý:Nhịthức bậc nhấtf(x) =ax+bcùng dấu với hệ sốakhix lấy các giá trị trong khoảng(left( { – frac{b}{a}; + infty }
ight))và trái dấu với hệ sốakhix lấy các giá trị trong khoảng(left( { – infty ; – frac{b}{a}}
ight))

Kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng sau:

b)Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

Giả sử (f(x)) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý vè dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bằng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong (f(x)) ta suy ra được dấu của (f(x)). Trường hợp (f(x)) là một thương cũng được xét tương tự.

Xem thêm: Https Học Excel Online

c)Áp dụng vào giải bất phương trình

Giải bất phương trình (f(x) > 0) thực chất là xét xem biểu thức (f(x)) nhận giá trị dương với những giá trị nào củax(do đó cũng biết (f(x)) nhận giá trị âm với những giá trị nào củax), làm như vậy ta nói đãxét dấubiểu thức (f(x)).

Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫuBất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng (left| {f(x)}
ight| le a) và(f(x) ge a)với a > 0 đã cho.

Ta có:

(left| {f(x)}
ight| le a Leftrightarrow – a le f(x) le a)

(f(x) ge a Leftrightarrow f(x) le a vee f(x) ge a)

1.4.Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a)Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Quy tắc thực hànhbiểu diễn hình học miền nghiệm(haybiểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình (ax + by le c{
m{ }}) ( tương tự cho bất phương(ax + by ge c))

Bước 1:Trên mặt phẳng xy, vẽ đường thẳng(Delta :ax + by = c)

Bước 2:Lấy một điểm ({M_0}left( {{x_0};{y_0}}
ight)) không thuộc (Delta ) ( ta thường lấy gốc tọa độ O)

Bước 3:Tính (ax_0 + by_0) và so sánh (ax_0 + by_0) với c

Bước 4:Kết luận

Nếu (ax_0 + by_0 c) thì nửa mặt phẳng bờ (Delta ) không chứa ({M_0}) là miền nghiệm của(ax + by le c{
m{ }})

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình (ax + by le c{
m{ }}) bỏ đi đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình(ax + by 1.5. Dấu của tam thức bậc hai

a) Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Định lí:Cho(f(x) = a{x^2} + bx + c,Delta = {b^2} – 4ac)

Nếu (Delta 0) thì f(x) cùng dấu với hệ số akhi (x {x_2}) trái dấu với hệ số akhi ({x_1} 0)

* Cách xét dấu tam thức bậc hai

Tìm nghiệm tam thức (bấm máy)Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

b) Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Giải bất phương trình bậc hai(a{x^2} + bx + c 0).

B. Bài tập minh họa

Bài 1:Chứng minh bất đẳng thức(a + frac{4}{{left( {a – b}
ight){{left( {b + 1}
ight)}^2}}} ge 3)

Hướng dẫn giải

Điều kiện:(a>bgeq 0)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

(a+frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=a-b+b+frac{4}{(a-b)(b+1)^2})

(=(a-b)+frac{b+1}{2}+frac{b+1}{2}+frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1)

(geq 4sqrt<4>{(a-b).frac{b+1}{2}.frac{b+1}{2}.frac{4}{(a-b)(b+1)^2}}-1)

(=4-1=3)

Ta có đpcm

Dấu “=” xảy ra khi(a-b=frac{b+1}{2}=frac{4}{(a-b)(b+1)^2}Leftrightarrow a=2; b=1)

Bài 2: Cho a+b(ge)0, chứng minh(dfrac{a+b}{2})(le)(sqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}})

Hướng dẫn giải

Theo bđt cosi ta có:

(a^2+b^2ge2ab)(Leftrightarrow2a^2+2b^2ge a^2+2ab+b^2)

(Leftrightarrow2left(a^2+b^2
ight)geleft(a+b
ight)^2)

(Leftrightarrowdfrac{a^2+b^2}{2}gedfrac{left(a+b
ight)^2}{4})

(Leftrightarrowsqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}}gedfrac{a+b}{2})

Suy ra đpcm

Bài 3:Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn

(left{ egin{array}{l}3x + y le 6\x + y le 4\2x – y ge 3\- 10x + 5y end{array}
ight.)

Hướng dẫn giải

Vẽ các đường thẳng

(egin{array}{l}(a):3x + y = 6\(b):x + y = 4\(c):2x – y = 3\(d): – 10x + 5y = 8end{array})

Vì điểm M(0;-3) có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các mặt phẳng bờ (a), (b), (c), (d) không chứa điểm M. Miền không bị tô đậm là miền nghiệm của hệ đã cho.

Bài 4:Tìm m để phương trình (- {x^2} + (m + 1)x + {m^2} – 5m + 6 = 0) (1) có 2 nghiệm trái dấu

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

( – 1.left( {{m^2} – 5m + 4}
ight) 0)

Vì tam thức(f(x) = left( {{m^2} – 5m + 4}
ight))có 2 nghiệm là ({m_1} = 1,{m_2} = 4) và hệ số của (m^2) dương nên

(left( {{m^2} – 5m + 4}
ight) > 0 Leftrightarrow m > 4 vee m 4 vee m

Đề kiểm traToán 10 Chương 4

Đề kiểm tra trắc nghiệm online Chương 4 Toán 10 (Thi Online)

Phần này các em được làm trắc nghiệm online trong vòng 45 phút để kiểm tra năng lực và sau đó đối chiếu kết quả và xem đáp án chi tiết từng câu hỏi.

Xem thêm: Khóa Học Ui Ux Online Cơ Bản Dành Cho Người Mới, Thiết Kế Ux Ui

Đề kiểm tra Chương 4 Toán 10 (Tải File)

Phần này các em có thể xem online hoặc tải file đề thi về tham khảo gồm đầy đủ câu hỏi và đáp án làm bài.

Lý thuyết từng bài Chương 4 và hướng dẫn giải bài tập SGK

Lý thuyết các bài học Toán 10 Chương 4

Hướng dẫn giải bài tập Toán 10 Chương 4

Trên đây là tài liệu Ôn tập Toán 10 Chương 4. Hy vọng với tài liệu này, các em sẽ giúp các em ôn tập và hệ thống lại kiến thức Chương 4 thật tốt. Để thi online và tải file đề thi về máy các em vui lòng đăng nhập vào trang lingocard.vnvà ấn chọn chức năng “Thi Online” hoặc “Tải về”.Ngoài ra, các em còn có thể chia sẻ lên Facebook để giới thiệu bạn bè cùng vào học, tích lũy thêm điểm HP và có cơ hội nhận thêm nhiều phần quà có giá trị từ HỌC247 !

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình