Cách Tính Tổng Hệ Số Trong Khai Triển Nhị Thức Niu Tơn, Giải Bài Tập Tính Tổng Trong Nhị Thức Newton

2. Nhận xét

– Trong khai triển

có

số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau :

– Số hạng tổng quát dạng :

và số hạng thứ

thì

.- Trong khai triển

thì dấu đan nhau nghĩa là

, rồi

, rồi

,…..- Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ của a và b bằng n.

Đang xem: Cách tính tổng hệ số trong khai triển nhị thức niu tơn

– Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như :

.

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

*

*

3. Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển:

có thể xếp thành một tam giác gọi

là tam giác PASCAL.

B. Bài tập

Dạng 1. Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

A. Phương pháp

Bước 1:Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:

Bước 2:Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau:

Số hạng chứa

ứng với giá trị

thỏa:

.

Từ đó tìm

Vậy hệ số của số hạng chứa

là:

với giá trị

đã tìm được ở trên.

Nếu

không nguyên hoặc

n” />thì trong khai triển không chứa

, hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý:Xác định hệ số của số hạng chứa

trong khai triển

được viết dưới dạng

.

Ta làm như sau:

* Viết

;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng

thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của

.

Chú ý:Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số

theo

và

;

* Giải bất phương trình

với ẩn số

;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Trong khai triển

, hệ số của số hạng thứ

bằng:

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Chọn B.

Ta có:

Do đó hệ số của số hạng thứ

bằng

.

Ví dụ 2:Trong khai triển

, hệ số của số hạng chính giữa là:

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Chọn D.

Trong khai triển

có tất cả

số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ

.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là

.

Ví dụ 3:Trong khai triển

{x}}
ight)}^{6}}” />, hệ số của

0
ight)” />là:

A.

. B.

. C.

. D.

.

Lời giải:

Chọn C.

Số hạng tổng quát trong khai triển trên là

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

.

Khi đó hệ số của

là:

.

Ví dụ 4:Tìm hệ số của

trong khai triển biểu thức sau:

A.29 B.30 C.31 D.32

Lời giải:

Chọn A.

Hệ số của

trong khai triển

là :

Hệ số của

trong khai triển

là :

Hệ số của

trong khai triển

là :

.

Vậy hệ số chứa

trong khai triển

thành đa thức là:

.

Chú ý:

* Với

ta có:

với

.

* Với

ta có:

{{{a}^{m}}}={{a}^{frac{m}{n}}}” />với

.

Ví dụ 5:Tìm hệ số của số hạng chứa

trong khai triển nhị thức Niutơn của

biết

.

A.495 B.313 C.1303 D.13129

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:

.

Khi đó:

.

Số hạng chứa

ứng với

thỏa:

.

Do đó hệ số của số hạng chứa

là:

.

Ví dụ 6:Xác định hệ số của

trong các khai triển sau:

A.37845 B.14131 C.324234 D.131239

Lời giải:

Chọn A.

Ta có:

Số hạng chứa

ứng với cặp

thỏa:

Nên hệ số của

là:

Dạng 2. Tính tổng

A. Phương pháp

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

.

Ta chọn những giá trị

thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

*

*

*

*

*

.

Phương pháp 2:Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.

Xem thêm: tiểu luận báo chí

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa

) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.