Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n imes n}}$ khi đó ${{A}_{ij}}={{(-1)}^{i+j}}{{M}_{ij}},$ với ${{M}_{ij}}$ là định thức nhận được từ định thức của ma trận $A$ bằng cách bỏ đi dòng $i$ và cột $j$ được gọi là phần bù đại số của phần tử ${{a}_{ij}}.$
Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 1}&m\ 3&1&4&2\ { – 3}&4&2&1\ { – 1}&2&1&3 end{array}}
ight).$
Tính các phần bù đại số ${{A}_{11}},{{A}_{12}},{{A}_{13}},{{A}_{14}}.$
Giải.
Đang xem: Cách tính định thức ma trận 3×3
Ta có:
$egin{array}{l} {A_{11}} = {( – 1)^{1 + 1}}left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 end{array}}
ight| = – 35;{A_{12}} = {( – 1)^{1 + 2}}left| {egin{array}{*{20}{c}} 3&4&2\ { – 3}&2&1\ { – 1}&1&3 end{array}}
ight| = – 45;\ {A_{13}} = {( – 1)^{1 + 3}}left| {egin{array}{*{20}{c}} 3&1&2\ { – 3}&4&1\ { – 1}&2&3 end{array}}
ight| = 34;{A_{14}} = {( – 1)^{1 + 4}}left| {egin{array}{*{20}{c}} 3&1&4\ { – 3}&4&2\ { – 1}&2&1 end{array}}
ight| = 7. end{array}$
Cho ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{n imes n}}$ khi đó
$det (A)={{a}_{i1}}{{A}_{i1}}+{{a}_{i2}}{{A}_{i2}}+…+{{a}_{in}}{{A}_{in}} ext{ }(i=1,2,…,n)$
đây là công thức khai triển định thức ma trận $A$ theo dòng thứ $i.$
$det (A)={{a}_{1j}}{{A}_{1j}}+{{a}_{2j}}{{A}_{2j}}+…+{{a}_{nj}}{{A}_{nj}} ext{ }(j=1,2,…,n)$
đây là công thức khai triển định thức ma trận $A$ theo cộng thứ $j.$
Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 1}&m\ 3&1&4&2\ { – 3}&4&2&1\ { – 1}&2&1&3 end{array}}
ight)$ theo công thức khai triển dòng 1.
Giải. Có$det (A)=1.{{A}_{11}}+2.{{A}_{12}}-1.{{A}_{13}}+m.{{A}_{14}},$ trong đó
$egin{array}{l} {A_{11}} = {( – 1)^{1 + 1}}left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 end{array}}
ight| = – 35;{A_{12}} = {( – 1)^{1 + 2}}left| {egin{array}{*{20}{c}} 3&4&2\ { – 3}&2&1\ { – 1}&1&3 end{array}}
ight| = – 45;\ {A_{13}} = {( – 1)^{1 + 3}}left| {egin{array}{*{20}{c}} 3&1&2\ { – 3}&4&1\ { – 1}&2&3 end{array}}
ight| = 34;{A_{14}} = {( – 1)^{1 + 4}}left| {egin{array}{*{20}{c}} 3&1&4\ { – 3}&4&2\ { – 1}&2&1 end{array}}
ight| = 7. end{array}$
Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$
Ví dụ 2: Tính định thức $left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&2\ { – 3}&1&5&1\ { – 2}&5&0&0\ 2&{ – 1}&3&{ – 1} end{array}}
ight|.$
Giải. Để ý dòng 3 của định thức có 2 phần tử bằng 0 nên khai triển theo dòng này sẽ chỉ có hai số hạng
Có
Ví dụ 3: Tính định thức $left| {egin{array}{*{20}{c}} 0&1&2&{ – m}\ { – 2}&{ – 1}&2&1\ 0&{ – 3}&4&2\ 0&{ – 5}&1&1 end{array}}
ight|.$
Giải. Để ý cột 1 có 3 phần tử bằng 0 nên khai triển theo cột 1 ta có
Ví dụ 4: Tính định thức
Giải. Để ý cột 3 có phần tử đầu tiên là 1, vậy ta sẽ biến đổi sơ cấp cho định thức theo cột 3
Ví dụ 5: Tính định thức $left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}&4\ { – 1}&3&1&{ – m}\ 2&{ – 4}&3&1\ { – 3}&2&1&2 end{array}}
ight|.$
Giải. Có
Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}&4\ { – 1}&3&1&{ – m}\ { – 2}&{ – 2}&{ – 2}&{ – 2}\ { – 3}&2&1&2 end{array}}
ight).$ Tính tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc dòng 4 của ma trận $A.$
Giải. Thay các phần tử ở dòng 4 của ma trận A bởi $-2,$ ta được ma trận $B = left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}&4\ { – 1}&3&1&{ – m}\ { – 2}&{ – 2}&{ – 2}&{ – 2}\ { – 2}&{ – 2}&{ – 2}&{ – 2} end{array}}
ight)$ có định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau và hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 giống nhau.
Vậy $det (B)=-2{{A}_{41}}-2{{A}_{42}}-2{{A}_{43}}-2{{A}_{44}}=0Leftrightarrow {{A}_{41}}+{{A}_{42}}+{{A}_{43}}+{{A}_{44}}=0.$
Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\ { – 2}&{ – 1}&4&1\ 3&{ – 4}&{ – 5}&6\ { – 4}&5&{ – 6}&7 end{array}}
ight).$ Tính ${{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}.$
Giải. Thay các phần tử ở dòng 4 của ma trận A lần lượt bởi $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( {egin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\ { – 2}&{ – 1}&4&1\ 3&{ – 4}&{ – 5}&6\ 1&2&3&4 end{array}}
ight)$ có định thức bằng 0 vì có hai dòng giống nhau và hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các phần tử dòng 4 giống nhau
Vậy $det (B)=1{{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}=0Leftrightarrow {{A}_{41}}+2{{A}_{42}}+3{{A}_{43}}+4{{A}_{44}}=0.$
Ví dụ 8: Cho D là một định thức cấp n có tất cả các phần tử của một dòng thứ i bằng 1. Chứng minh rằng:
Tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc mỗi dòng khác dòng thứ i đều bằng 0.Định thức D bằng tổng phần bù đại số của tất cả các phần tử của nó.
Xem thêm: Cách Nhẩm Nghiệm Phương Trình Bậc 3 Chứa Tham Số, Cách Giải Phương Trình Bậc 3 Chứa Tham Số
Ví dụ 9: Tính định thức $left| {egin{array}{*{20}{c}} { – 2}&5&0&{ – 1}&3\ 1&0&3&7&{ – 2}\ 3&{ – 1}&0&5&{ – 5}\ 2&6&{ – 4}&1&2\ 0&{ – 3}&{ – 1}&2&3 end{array}}
ight|.$
Ví dụ 10: Tính định thức $left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 2}&3&2&{ – 5}\ 2&1&2&{ – 1}&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0&{ – 3} end{array}}
ight|.$
Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính
Thật vậy, đối với ma trận tam giác trên khai triển theo cột 1 có:
đối với ma trận tam giác dưới khai triển theo dòng 1.
Ví dụ 10: Tính định thức $left| {egin{array}{*{20}{c}} a&b&{…}&b\ b&a&{…}&b\ {…}&{…}&{…}&{…}\ b&b&{…}&a end{array}}
ight|.$
Giải. Ta có:
$egin{array}{l} left| {egin{array}{*{20}{c}} a&b&{…}&b\ b&a&{…}&b\ {…}&{…}&{…}&{…}\ b&b&{…}&a end{array}}
ight|underline{underline {c2 + c3 + … + cn + c1}} left| {egin{array}{*{20}{c}} {a + (n – 1)b}&b&{…}&b\ {a + (n – 1)b}&a&{…}&b\ {…}&{…}&{…}&{…}\ {a + (n – 1)b}&b&{…}&a end{array}}
ight|\ = left( {a + (n – 1)b}
ight)left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&b&{…}&b\ 1&a&{…}&b\ {…}&{…}&{…}&{…}\ 1&b&{…}&a end{array}}
ight|\ underline{underline { – {d_1} + {d_i}}} left( {a + (n – 1)b}
ight)left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&b&{…}&b\ 0&{a – b}&{…}&b\ {…}&{…}&{…}&{…}\ 0&0&{…}&{a – b} end{array}}
ight| = left( {a + (n – 1)b}
ight){(b – b)^{n – 1}}. end{array}$
Hiện tại lingocard.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:
Xem thêm: Bài 6: Giải Toán 9 Bài 6 – Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình (Tiếp Theo)
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
– ĐH Kinh Tế Quốc Dân
– ĐH Ngoại Thương
– ĐH Thương Mại
– Học viện Tài Chính
– Học viện ngân hàng
– ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả nước…