Bài toán: Biện luận số nghiệm của phương trình: $Fleft( x;m
ight)=0$ theo tham số $m$ dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số $y=fleft( x
ight)$.
Đang xem: Cách tìm số nghiệm thực của phương trình
§ Bước 1: Biến đổi phương trình $Fleft( x;m
ight)=0$ về dạng $fleft( x
ight)=gleft( m
ight)$.
§ Bước 2: Vẽ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số $y=fleft( x
ight)left( C
ight)$ và đường thẳng $d:y=gleft( m
ight)$
Đường thẳng $d$ có đặc điểm vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ $gleft( m
ight)$.
§ Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình đã cho.
Bài tập 1: Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ có đồ thị như hình bên.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để phương trình $-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}=m$ có bốn nghiệm thực phân biệt? A. $m>0$ B. $0le mle 1$ C. $0 |
Lời giải chi tiết
Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=m$. Dựa vào hình vẽ suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm khi $0
Số nghiệm thực của phương trình $2fleft( x
ight)+3=0$ là
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
Lời giải chi tiết
Số nghiệm thực của phương trình $fleft( x
ight)+3=0Leftrightarrow fleft( x
ight)=frac{-3}{2}$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=fleft( x
ight)$ và đường thẳng $y=-frac{3}{2}$.
Đường thẳng $y=-frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x
ight)$ tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình $2fleft( x
ight)+3=0$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn A.
Bài tập 3: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị trong hình bên.
Hỏi phương trình $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d+1=0$ có bao nhiêu nghiệm? A. Phương trình không có nghiệm. B. Phương trình có đúng 1 nghiệm. C. Phương trình có đúng 2 nghiệm. D. Phương trình có đúng 3 nghiệm. |
Lời giải chi tiết
Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số
$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+dleft( C
ight)$ và đường thẳng $y=-1$.
Dựa vào đồ thị ta thấy $left( C
ight)$ cắt đường thẳng $y=-1$ tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn D.
Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trị $m$để phương trình ${{x}^{3}}-3x=2m$ có 3 nghiệm phân biệt
A. $-2 |
Lời giải chi tiết
Phương trình ${{x}^{3}}-3x=2m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ và đường thẳng $y=2m$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai đồ thị có ba giao điểm. Khi đó $-2
Đồ thị của hàm số $y=fleft( x
ight)$ như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $3fleft( x
ight)+4=0$ là:
A. 3
B. 0
C. 1
D. 2
Lời giải chi tiết
Ta có: $3fleft( x
ight)+4=0Leftrightarrow fleft( x
ight)=frac{-4}{3}$
Số nghiệm của phương trình $fleft( x
ight)=-frac{4}{3}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=fleft( x
ight)$ và đường thẳng $y=-frac{4}{3}$.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình $fleft( x
ight)=-frac{4}{3}$ có 3 nghiệm phân biệt. Chọn A.
Bài tập 6: Cho hàm số $y=fleft( x ight)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ có bảng biến thiên như sau: Giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-frac{3}{2}{{x}^{2}}+2m-1=0$ có 3 nghiệm phân biệt là: A. $frac{1}{2} |
Lời giải chi tiết
Ta có: PT $Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4m-2=0Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=4-4mleft( 1
ight)$
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị $left( C
ight)$ và đường thẳng $d:y=4-4m$. Do vậy phương trình (1) có đúng 3 nghiệm khi $d$ cắt $left( C
ight)$ tại đúng 3 điểm phân biệt
$1
Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình $2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+m-5=0$ có đúng 2 nghiệm
A. 3 B. 4 C. 5 D.
Xem thêm: Bảo Vệ Đồ Án Là Gì ? Tìm Hiểu Về Các Bước Lập Đồ Án Tốt Nghiệp
6
Lời giải chi tiết
Ta có: PT $Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=frac{5-m}{2}Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2=frac{9-m}{2}left( 2
ight)$
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị $left( C
ight)$ và đường thẳng $y=frac{9-m}{2}$
Do vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $Leftrightarrow $ $d$ cắt $left( C
ight)$ tại 2 điểm phân biệt
$Leftrightarrow left< egin{array} {} frac{9-m}{2}=1 \ {} frac{9-m}{2}>2 \ end{array}
ight.Leftrightarrow left< egin{array} {} m=7 \ {} m
Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
A. $-1 |
Lời giải chi tiết
Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi $-1
A. $frac{5}{2}3$ D. $frac{1}{2}
Lời giải chi tiết
Ta có đồ thị hai hàm số $y=frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3$ như hình bên. Dựa vào đồ thị ta thấy, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3$ tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi giá trị $m$ thuộc đoạn $left( frac{5}{2};3
ight)Leftrightarrow frac{5}{2}
Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-3x-m=0$ có ba nghiệm phân biệt
A. $-1
Lời giải chi tiết
PT $Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+1=m+1$. Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ và đường thẳng $y=m+1$.
Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có ba giao điểm. Khi đó $-1
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2m=0$, với $m$ là tham số thực, có 3 nghiệm thực phân biệt khi $m$ thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. $left< -2;0
ight>$ B. $left( -2;0
ight)$ C. $left< -3;-2
ight>$ D. $left< -2;0
ight>$
Lời giải chi tiết
PT $Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=2m+4left( *
ight)$. Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=2m+4$ và đồ thị hàm số $y=fleft( x
ight)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$. PT có 3 nghiệm phân biệt khi hay đồ thị có 3 giao điểm.
Khi đó $0
Tập hợp các giá trị của tham số $m$để phương trình $fleft( x
ight)=m$ có bốn nghiệm phân biệt là
A. $left( -2;+infty
ight)$ B. $left< -2;-1
ight>$ C. $left( -2;-1
ight)$ D. $left( -infty ;-1
ight)$
Lời giải chi tiết
Phương trình $fleft( x
ight)=m$ là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số $y=fleft( x
ight)$ và đường thẳng $y=m$ song song trục hoành. Phương trình $fleft( x
ight)=m$ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=fleft( x
ight)$ tại 4 điểm phân biệt. Khi đó
$-2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $fleft( x
ight)=m$ có 3 nghiệm thực phân biệt.
A. $min left( 2;+infty
ight)$ B. $min left( -infty ;-2
ight)$ C. $min left< -2;2
ight>$ D. $min left( -2;2
ight)$
Lời giải chi tiết
Phương trình $fleft( x
ight)=m$ có 3 nghiệm thực phân biệt khi $min left( -2;2
ight)$. Chọn D.
Bài tập 14: Cho hàm số $y=fleft( x ight)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$ có bảng biến thiên như sau Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2m=0$, với $m$ là tham số thực, có 3 nghiệm thực phân biệt khi $m$ thuộc tập hợp nào dưới đây? A. $left< -2;0
ight>$ B. $left( -2;0 |
Lời giải chi tiết
PT $Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=2m+4left( *
ight)$. Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=2m+4$ và đồ thị hàm số $y=fleft( x
ight)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai đồ thị có 3 giao điểm. Khi đó $0
Số các giá trị nguyên của tham số $min left< -10;10 ight>$ để phương trình ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}$ có đúng 2 nghiệm phân biệt là
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}Leftrightarrow -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3=-{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+3left( *
ight)$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt $Leftrightarrow -{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+3sqrt{2} \ end{array}
ight.$
Kết hợp $left{ egin{array} {} min left< -10;10
ight> \ {} min mathbb{Z} \ end{array}
ight.Rightarrow $ có 18 giá trị của tham số $m$. Chọn B.
Bài tập 16: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m$ (với $m$ là tham số thực) có đồ thị $left( C ight)$. Giả sử $left( C ight)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},,,{{x}_{2}},,,{{x}_{3}}$ (với ${{x}_{1}} A. $0 |
Lời giải chi tiết
Đồ thị $left( C
ight)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Khi đó PT ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m=0$ có ba nghiệm phân biệt.
Suy ra PT ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x=-m$ có ba nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x$ tại 3 điểm phân biệt.
Xem thêm: Cân Bằng Phương Trình Hóa Học
Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên.
Hai đồ thị có 3 giao điểm khi và chỉ khi $-4 Luyện bài tập vận dụng tại đây!