Cách Nhận Biết Phương Trình Đường Tròn, Chuyên Đề Nhận Dạng Phương Trình Đường Tròn

Phương trình đường tròn

A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Phương trình đường tròn (h.3.3)Phương trình đường tròn có tâm I(a; b), bán kính R là:

Nếu

0 ” title=”a^2 + b^2 – c > 0 ” class=”latex” /> thì phương trình

 là phương trình của đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R =

Nếu

 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thoả mãn phương trình

Nếu

Tiếp tuyến tại điểm

 của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình :

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm tâm vồ bán kính đường tròn

1. Phương pháp

Cách 1: Đưa phương trình về dạng :

(1)

Xét dấu biểu thức

Nếu m > 0 thì (1) là phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R =

.

Đang xem: Cách nhận biết phương trình đường tròn

Cách 2 : – Đưa phương trình về dạng

(2)

Nếu m > 0 thì (2) là phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R =

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn ? Tìm tâm và bán kính nếu có :

GIÁI

a) (1) có dạng

với a = 3,b = -4, c = 100.

Ta có

Vậy (1) không phải là phương trình của đường tròn.

b) (2) có dạng

, với a = – 2, b = 3, c = -12.

Ta có

0 ” title=”x^2 + b^3 – c = 4 + 9+12 = 25 > 0 ” class=”latex” />.

Vậy (2) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (-2 ; 3), bán kính bằng

 = 5.

c) Ta có : (3)

⇔

 ⇔

⇔

Vậy (3) là phương trình của đường tròn tâm là điểm (1 ; -2), bán kính bằng

Ví dụ 2. Cho phương trình $latex x^2 + y^2 – 2mx + 4my + 6m – 1 = 0 (1)

a) Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của đường tròn ?

b) Nếu (1) là phương trình của đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó theo m.

GIẢI

a) (1) có dạng

với a = m, b = – 2m, c = 6m = 1.

(1) là phương trình của đường tròn khi và chỉ khi

0 ” title=”a^2 + b^2 – c > 0 ” class=”latex” />, mà

Vấn đề 2

Lập phương trình của đường tròn

1. Phương pháp

Cách 1 :

Tìm toạ độ tâm I(a ; b) của đường tròn (℘);Tìm bán kính R của(℘);Viết phương trình (℘) theo dạng

Chú ý:

(℘) đi qua A, B ⇔

.(℘) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng Δ tại A ⇔ IA = d(I, Δ).(℘) tiếp xúc với hai đường thẳng

và

⇔ d (I,

) = d (I,

) = RGọi phương trình của đường tròn (℘) là

(2)Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số là a, b, c.Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (2) ta được phương trình đường tròn(℘).2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình của đường tròn (℘) trong các trường hợp sau :

a) (℘) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: x – 2y+7 = 0;

b) (℘) có đường kính là AB với A( 1 ; 1), B(7 ; 5).

GIẢI

Vậy phương trình của (℘) là:

= 4/5

b) Tâm I của (℘) là trung điểm của AB

Do đó : IA=

.

Vậy phương trình của (℘) là :

Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1 ; 2), B(5 ; 2), C( 1 ; – 3).

GIẢI

Xét đường tròn (℘) có dạng

.

(℘) đi qụa A, B, c khi và chỉ khi

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là :

Vấn đề 3

Lập phương trình tiếp tuyến, của đường tròn

1. Phương pháp

Loại 1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm

 thuộc đường tròn (℘).

Tìm toạ độ tâm I(a ; b) của (℘).Phương trình tiếp tuyến với (℘) tại

có dạng :

Loại 2. Lập phương trình tiếp tuyến Δ với (℘) khi chưa biết tiếp điểm :

Dùng điều kiện tiếp xúc để xác đinh Δ:

Δ tiếp xúc với đường tròn (℘) tâm I, bán kính R ⇔ d(I, A) = R.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn:

(℘)

tại điểm

thuộc đường tròn (℘).

GIẢI

(℘) có tâm là điểm (1; -2). Vậy phương trình tiếp tuyến với (℘) tại

(4 ; 2) có dạng :

⇔ (4 – 1)(x – 4) + (2 + 2)(y – 2) = 0 ⇔ 3x + 4y – 20 = 0

Ví dụ 2. Lập phương trình tiếp tuyến, với đường tròn

(℘):

Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(3 ; – 2).

GIẢI

Phương trình của đường thẳng Δđi qua A(3; – 2) có dạng

y + 2 = k(x – 3) ⇔ kx – y – 2 – 3k = 0 $

Vậy cỏ hai tiếp tuyến vái (&) kẻ từ A là :

: 2x – y – 8 = 0 ;

: X + 2y + 1 = 0.

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến A với đường tròn

(℘):

biết rằng Δ song song với đường thẳng d :3x – y + 2006 = 0.

GIẢI

(℘)có tâm 1(2 ; – 3) và bán kính R =

Phương trình của đường thẳng Δ song song với d có dạng :

Δ: 3x – y + c = 0.

Δ tiếp xúc với (℘) khi và chỉ khi

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.15. Trong mặt phẳng Oxy, hãy lập phương trình của đường tròn ( ℘) có tâm là điểm (2 ; 3) và thoả mãn điều kiện sau :

a) (℘) có bán kính là 5 ;

b) (℘) đi qua gốc toạ độ ;

c) (℘) tiếp xúc với trục Ox ;

d) (℘) tiếp xúc với trục Oy ;

e (℘) tiếp xúc với đường thẳng Δ: 4x + 3y – 12 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.16. Cho ba điểm A( 1 ; 4), B(- 7 ; 4), C(2; -5).

a) Lập phương trình đường tròn (℘) ngoại tiếp tam giác ABC ;

b) Tìm tâm và bán kính của (℘).

Xem thêm: Sơ Đồ Tư Duy Quản Lý Dự Án, Quản Lý Dự Án Bằng Sơ Đồ Tư Duy

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.17. Cho đường tròn (℘) đi qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) và có tâm ở trên đường thẳng Δ : 3x – y + 10 = 0.

a) Tìm toạ độ tâm của (℘);

b) Tính bán kính R của (℘);

c) Viết phương trình của (℘).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.18. Cho ba đường thẳng

: 3x + 4ỵ – 1 = 0 ;

: 4x + 3y – 8 = 0 ;

d : 2x + y – 1 = 0.

a) Lập phương trình các đường phân giác của các góc hợp bởi

và

.

b) Xác định toạ độ tâm I của đường tròn (℘) biết rằng I nằm trên d và (℘) tiếp xúc với

và

c) Viết phương trình của (℘).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.19. Lập phương trình của đường tròn (℘) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x + y – 3 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.20. Lập phương trình của đường tròn đường kính AB trong các trường hợp sau :

a) A có toạ độ (-1; 1), B có toạ độ (5 ; 3);

b) A có toạ độ (-1; – 2), B có toạ độ (2 ; 1).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.21. Lập phương trình của đường tròn () tiếp xúc với các trục toạ độ và đi qua điểm M(4 ; 2).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.22. Cho đường tròn (℘):

 và đường thẳng d: 3x + 4y – 3 = 0.

a) Tìm toạ độ giao điểm của (℘) và

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (℘) tại các giao điểm đó.

c) Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.23 Cho đường tròn (℘):

và điểm A( 1 ; 3).

a) Chứng tỏ rằng điểm Anằm ngoài đường tròn (℘).

b) Lập phương trình tiếp tuyến với (℘) xuất phát từ điểm.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.24. Lập phương trình tiếp tuyến A của đường, tròn (℘) :

biết rằng Δ vuông góc với đường thẳng d: x – y + 4 = 0.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.25. Cho đường tròn (℘):

 và điểm M(2 ; -1).

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến

và

 với (℘). Hãy viết phương trình của

và

.

b) Gọi

 và

 lần lượt là hai tiếp điểm của

và

 với ), hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua

 và

.

⇒ Xem đáp án tại đây.

Xem thêm: Hồ Sơ Đồ Dự Án – Sơ Đồ Mạng (Dự Án)

3.26. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (℘) có phương trình

biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc toạ độ O.