Cách Giải Phương Trình Nhiều An, Giai He Phuong Trinh Tuyen Voi Nhieu An So

Đang xem: Cách giải phương trình nhiều an

Xem thêm: Giải Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Tập 1 Bài 23 : Luyện Tập, Giải Vở Bài Tập Toán 4 Bài 23: Luyện Tập Trang 25

Xem thêm: Cách Tính Hoa Hồng Của Oriflame, Cách Tính Thu Nhập

\ end{array} $- Với $z = 0$ ta có : $left{ egin{array} x + y = 0 \ xy = 0 \ z = 0 \ end{array}
ight.$Hệ này có nghiệm $left( {0;0;0}
ight)$- Với $z = 1$ ta có :$left{ egin{array} x + y = 3 \ xy = 2 \ z = 1 \ end{array}
ight.$Giải hệ ta được hai nghiệm : $left( {1;2;1}
ight),left( {2;1;1}
ight)$- Với $z = frac{2}{3}$ ta có :$left{ egin{array} x + y = 2 \ xy = frac{1}{3} \ y = frac{2}{3} \ end{array}
ight.$Hệ có hai nghiệm :$left( {frac{{3 – sqrt 6 }}{3};frac{{3 + sqrt 6}}{3};frac{2}{3}}
ight),left( {frac{{3 + sqrt 6 }}{3};frac{{3 – sqrt 6}}{3};frac{2}{3}}
ight)$.Vậy hệ (I) có 5 nghiệm :$left( {0;0;0}
ight),left( {1;2;1}
ight),left( {2;1;1}
ight),left({frac{{3 – sqrt 6 }}{3};frac{{3 + sqrt 6 }}{3};frac{2}{3}}
ight),left({frac{{3 + sqrt 6 }}{3};frac{{3 – sqrt 6 }}{3};frac{2}{3}}
ight)$Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :$left( {{ ext{III}}}
ight)left{ egin{array} xy = 12 \ yz = 20 \ zx = 15 \ end{array}
ight.$Nhận xét: Nghiên cứu cách giải. Hãythử giải hệ này bằng phương pháp thế.Tuy nhiên có thể nhận xét về dấu của $x,y,z$để đề ra một cách giải cách.Rõ ràng $x,y,z$khác $0$và cùng dấu.GiảiNhân vế với vế của ba phương trình ta được một phương trình; kết hợp với haitrong ba phương trình đã cho ta được hệ: $left{ egin{array} xy = 12 \ yz = 20 \ {left( {xyz}
ight)^2} = 3600 \ end{array}
ight.$Ta dễ thấy rằng $left( {{ ext{III}}}
ight) Leftrightarrow left({{ ext{IV}}}
ight)$Vì ${left( {xyz}
ight)^2} = 3600 Leftrightarrow left< egin{array} xyz = 60 \ xyz = - 60 \ end{array} ight.$Nên hệ $(IV)$ tương đương với hai hệ : $left( { ext{V}} ight)left{ egin{array} xy = 12 \ yz = 20 \ xyz = 60 \ end{array} ight.$ và $left( {{ ext{VI}}} ight) Leftrightarrowleft{ egin{array} xy = 12 \ yz = 20 \ xyz = - 60 \ end{array} ight.$Giải $left( { ext{V}} ight)$: Thay $xy = 12$vào phương trình thứ bat a được$z = 5$; thay $yz = 20$ vào phương trình thứ ba ta được $x = 3$. Thay $x = 3,z= 5$ vào phương trình thứ ba ta được $y = 4$.Hệ $left( { ext{V}} ight)$ có nghiệm: $left( {3;4;5} ight).$Giải $left( {{ ext{IV}}} ight)$: Tương tự hệ $left( {{ ext{IV}}} ight)$có nghiệm $left( { - 3; - 4; - 5} ight).$Vậy hệ $left( {{ ext{III}}} ight)$có hai nghiệm: $left( {3;4;5} ight),left( { - 3; - 4; - 5} ight).$2. Áp dụng hệ thức Viét đối với phươngtrình bậc ba:Phương pháp:Hệ thức Viét đối với phương trình bậc ba được phát biểu như sau:Định lý: Nếu phương trình $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ có ba nghiệm${x_1},{x_2},{x_3}$thì : $left{ egin{array} {x_1} + {x_2} + {x_3} = – frac{b}{a} \ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = frac{c}{a} \ {x_1}{x_2}{x_3} = – frac{d}{a} \ end{array}
ight.$ Ngược lại, nếu ba số${x_1},{x_2},{x_3}$ thỏa mãn các đẳng thức : $left{ egin{array} {x_1} + {x_2} + {x_3} = {S_1} \ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = {S_2} \ {x_1}{x_2}{x_3} = P \ end{array}
ight.$thì chúng là ba nghiệm của phương trình :${x^3} – {S_1}{x^2} + {S_2}x – P = 0$Theo định lí trên đây có thể giải hệ phương trình ba ẩn $left{ egin{array} {x_1} + {x_2} + {x_3} = {S_1} \ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = {S_2} \ {x_1}{x_2}{x_3} = P \ end{array}
ight.$bằng cách giải một phương trình bậc ba ${x^3} – {S_1}{x^2} + {S_2}x – P = 0$Ví dụ 3: Giải hệ phương trình : $left{ egin{array} {x_1} + {x_2} + {x_3} = – 1 \ {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = – 10 \ {x_1}{x_2}{x_3} = – 8 \ end{array}
ight.$GiảiTheo định lí Viét $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình ${x^3} + {x^2} – 10x + 8 = 0$Ta thấy $x = 1$ là một nghiệm của phương trình trên. Do đó phương trình trên đượcviết thành : $(x – 1)({x^2} + 2x – 8) = 0$Giải phương trình này ta được : ${x_1} = 1,{x_2} = – 4,{x_3} = 2$Vì hệ phương trình này đối xứng đối với $x,y,z$ nên hệ có $3! = 6$ nghiệm sau :$left( {1; – 4;2}
ight),left( {1;2; – 4}
ight),left( {2; – 4;1}
ight),left( { – 4;1;2}
ight),left( {2;1; – 4}
ight),left( { – 4;2;1}
ight)$Ví dụ 4: Giải hệ phương trình : $(II)left{ egin{array} x + y + z = – 4 \ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 22 \ xyz = 18 \ end{array}
ight.$GiảiBiến đổi hệ này thành hệ có dạng $(I)$. Bình phương hai vế phương trình thứ nhấtrồi trừ từng vế với phương trình thứ hai ta được :$,left{ egin{array} x + y + z = – 4 \ xy + yz + zx = – 3 \ xyz = 18 \ end{array}
ight.$ Hoặc $,left{ egin{array} x + y + z = – 4 \ xy + yz + zx = – 4 \ xyz = 18 \ end{array}
ight.$ Theo định lí Viét, $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình : ${x^3} + 4{x^2} – 3x + 18 = 0$Ta có thể thấy $x = 2$ là một nghiệm. Do đó : $left( {x – 2}
ight)left({{x^2} + 6x + 9}
ight) = 0$Giải phương trình này ta được : ${x_1} = 2,{x_2} = {x_3} = – 3$Vậy hệ có ba nghiệm: $left( {2; – 3; – 3}
ight),left( { – 3;2; – 3}
ight),left( { – 3; – 3;2}
ight)$Ví dụ 5: Giải hệ phương trình : $left( {{ ext{III}}}
ight)left{ egin{array} x + y + z = – 2 \ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 6 \ {x^3} + {y^3} + {z^3} = – 8 \ end{array}
ight.$Giải$left( {{ ext{III}}}
ight) Leftrightarrow left{ egin{array} x + y + z = – 2 \ {left( {x + y + z}
ight)^2} – 2left( {xy + yz + zx}
ight) =6 \ left( {x + y + z}
ight)left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}}
ight) -left( {x{y^2} + {x^2}y + y{z^2} + {y^2}z + z{x^2} + {z^2}x}
ight) = -8 \ end{array}
ight.$$ Leftrightarrow left{ egin{array} x + y + z = – 2 \ {(x + y + z)^2} – 2(xy + yz + zx) = 6 \ (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2}) – (xy + yz + zx)(x + y + z) + 3xyz= – 8 \ end{array}
ight.$$ Leftrightarrow left{ egin{array} x + y + z = – 2 \ xy + yz + zx = – 1 \ xyz = 2 \ end{array}
ight.$Vậy $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình bậc ba${t^2} + 2t – t – 2 = 0$ hay $(t + 2)({t^2} – 1) = 0$Phương trình này có nghiệm là : ${t_1} = – 1,{t_2} = 1,{t_3} = – 2$Do đó hệ phương trình có 6 nghiệm là hoán vị của ba số $ – 1,1, – 2$:$( – 1;1; – 2),( – 1; – 2;1),(1; – 1; – 2),(1; – 2; – 1),( – 2; – 1;1),( – 2;1;- 1)$Bài tập rèn luyệnGiải các hệ phương trình :${ ext{a)}}left{ egin{array} {(y + z)^2} – {x^2} = 2 \ {(z + x)^2} – {y^2} = 3 \ {(x + y)^2} – {z^2} = 4 \ end{array}
ight.,,,,,,,,,,,,{ ext{b}})left{egin{array} zx + xy = {x^2} + 2 \ xy + yz = {y^2} + 3 \ yz + zx = {z^2} + 4 \ end{array}
ight.,,,,,,,,,{ ext{c)}}left{ egin{array} x + y + z = 1 \ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9 \ {x^3} + {y^3} + {z^3} = 1 \ end{array}
ight.$${ ext{d)}}left{ egin{array} (x + y)(z + x) = x \ (y + z)(x + y) = 2y \ (z + x)(y + z) = 3z \ end{array}
ight.,,,,,,,{ ext{e)}},left{ egin{array} frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} = 3 \ frac{1}{{xy}} + frac{1}{{yz}} + frac{1}{{zx}} = 3 \ frac{1}{{xyz}} = 1 \ end{array}
ight.,,,,,,,,{ ext{f)}}left{ egin{array} 6x{(y + z)^2} = 13yz \ 3y{(z + x)^2} = 5zx \ 6z{(x + y)^2} = 5xy \ end{array}
ight.$