Cách Biện Luận Hệ Phương Trình Lớp 10, Giải Và Biện Luận Hệ Phương Trình Lớp 9

Hệ phương trình bậc nhất có chứa tham số là một dạng toán khó trong chương trình trung học cơ sở. Để nâng cao kiến thức cho các em học sinh Toán cấp 2 chia sẻ chuyên đề này.

Đang xem: Cách biện luận hệ phương trình lớp 10

Chuyên đề hệ PT bậc nhất có tham số với các dạng toán thường gặp và ví dụ có lời giải.

PHẦN I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1. Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số $ m$

– Phương pháp:

+ Bước 1: Đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất dạng $ ax+b=0$ (Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…)

+ Bước 2: Xét phương trình $ ax+b=0,,,,left( 1
ight)$($ a,b$ là hằng số)

TH 1: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất $ Leftrightarrow a
e 0$ ⇒ phương trình có nghiệm duy nhất $ x=-frac{b}{a}$.

TH 2: Phương trình (1) vô nghiệm $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a=0\b
e 0end{array}
ight.$.

TH 3: Phương trình (1) có vô số nghiệm $ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a=0\b=0end{array}
ight.$.

+ Bước 3: Kết luận.

2. Dạng 2: Tìm $ m$ để hệ phương trình có nghiệm $ left( x;y
ight)$ thỏa điều kiện cho trước

– Phương pháp:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm $ left( x;y
ight)$ theo tham số $ m$;

+ Bước 2: Thế nghiệm vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm $ m$;

+ Bước 3: Kết luận.

3. Dạng 3: Tìm mối liên hệ giữa không phụ thuộc vào tham số $ m$

– Phương pháp:

+ Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm $ left( x;y
ight)$ theo tham số $ m$;

+ Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số $ m$;

+ Bước 3: Kết luận.

PHẦN II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tìm $ displaystyle a,b$ biết hệ phương trình: $ displaystyle left{ egin{array}{l}2x+by=a\bx+ay=5end{array}
ight.$ có nghiệm $ displaystyle x=1$; $ displaystyle y=3$

Lời giải

Thay $ displaystyle x=1$; $ displaystyle y=3$ vào hệ ta có:

$ displaystyle left{ egin{array}{l}2.1+b.3=a\b.1+a.3=5end{array}
ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}a-3b=2\3a+b=5end{array}
ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}3a-9b=6\3a+b=5end{array}
ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}10b=-1\3a+b=5end{array}
ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}b=frac{-1}{10}\a=frac{17}{10}end{array}
ight.$

Vậy $ displaystyle a=frac{-1}{10}$; $ displaystyle y=frac{17}{10}$ thì hệ phương trình có nghiệm $ displaystyle x=1$; $ displaystyle y=3$

Bài 2: Cho hệ phương trình $ displaystyle left{ egin{array}{l}x+2y=m+3\2x-3y=mend{array}
ight.$ $ displaystyle left( I
ight)$ ($ displaystyle m$ là tham số) .

a) Giải hệ phương trình $ displaystyle left( I
ight)$ khi $ displaystyle m=1$.

b) Tìm $ displaystyle m$ để hệ $ displaystyle left( I
ight)$ có nghiệm duy nhất $ displaystyle left( x;y
ight)$ thỏa mãn $ displaystyle x+y=-3$.

Lời giải

a) Với $ displaystyle m=1$, hệ phương trình $ displaystyle left( I
ight)$ có dạng:

$ displaystyle left{ egin{array}{l}x+2y=4\2x-3y=1end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}2x+4y=8\2x-3y=1end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x=2\y=1end{array}
ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ displaystyle left( x,y
ight)=left( 2;1
ight)$.

Xem thêm: Giải Bài Tập Ngữ Văn 7 Tập 1 Sông Núi Nước Nam Ngắn Gọn, Soạn Bài Sông Núi Nước Nam Ngắn Gọn

b) $ displaystyle left{ egin{array}{l}x+2y=m+3\2x-3y=mend{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}2x+4y=2m+6\2x-3y=mend{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x+2y=m+3\7y=m+6end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x=frac{5m+9}{7}\y=frac{m+6}{7}end{array}
ight.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ displaystyle left( x;y
ight)=left( frac{5m+9}{7};frac{m+6}{7}
ight)$.

Lại có $ displaystyle x+y=-3$ hay $ displaystyle frac{5m+9}{7}+frac{m+6}{7}=-3Leftrightarrow 5m+9+m+6=-21Leftrightarrow 6m=-36Leftrightarrow m=-6$

Vậy với $ displaystyle m=-6$ thì hệ phương trình $ displaystyle left( I
ight)$ có nghiệm duy nhất $ displaystyle left( x,y
ight)$ thỏa mãn $ displaystyle x+y=-3$.

Bài 3: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ egin{array}{l}2x+y=5m-1\x-2y=2end{array}
ight.$

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: $ displaystyle {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=-2$

Lời giải

$ displaystyle left{ egin{array}{l}2x+y=5m-1\x-2y=2end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}y=5m-1-2x\x-2(5m-1-2x)=2end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}y=5m-1-2x\5x=10mend{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x=2m\y=m-1end{array}
ight.$

Thay vào ta có

$ displaystyle {{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=-2Leftrightarrow {{(2m)}^{2}}-2{{(m-1)}^{2}}=-2Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+4m=0Leftrightarrow left< egin{array}{l}m=0\m=-2end{array} ight.$

Vậy $ displaystyle min left{ 2;0
ight}$.

Bài 4: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ egin{array}{l}(m-1)x+y=2\mx+y=m+1end{array}
ight.$ ($ displaystyle m$ là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi $ displaystyle m=2$;

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $ displaystyle m$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $ displaystyle left( x;y
ight)$ thỏa mãn: $ displaystyle 2x+yle ext{3}$.

Lời giải

a) Giải hệ phương trình khi $ displaystyle m=2$.

Ta có: $ displaystyle left{ egin{array}{l}x+y=2\2x+y=3end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x+y=2\x=1end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x=1\y=1end{array}
ight.$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ displaystyle left( 1;1
ight)$.

b) Ta có $ displaystyle y=2left( m-1
ight)x$ thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

$ displaystyle mx+2left( m-1
ight)x=m+1Leftrightarrow x=m1$ suy ra $ displaystyle y=2{{left( m-1
ight)}^{2}}$ với mọi $ displaystyle m$

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $ displaystyle left( x;y
ight)=left( m-1;2{{left( m-1
ight)}^{2}}
ight)$

$ displaystyle 2x+ ext{ }y=2left( m-1
ight)+2{{left( m-1
ight)}^{2}}=-{{m}^{2}}+4m-1=3{{left( m-2
ight)}^{2}}le 3$ với mọi $ displaystyle m$.

Bài 5: Cho hệ phương trình $ displaystyle left{ egin{array}{l}3x+y=2m+9\x+y=5end{array}
ight.$ có nghiệm $ displaystyle left( x;y
ight)$. Tìm $ displaystyle m$ để biểu thức $ displaystyle A=xy+x-1$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

$ displaystyle left{ egin{array}{l}3x+y=2m+9\x+y=5end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}x=m+2\y=3-mend{array}
ight.Rightarrow A=xy+x-1=8-{{left( m-1
ight)}^{2}}$ ⇒ $ displaystyle {{A}_{max}}=8$ khi $ displaystyle m=1$.

Xem thêm: Cách Kiểm Tra Máy Tính Khi Mua Laptop Mới Ưng Ý, 8 Bước Kiểm Tra Laptop Trước Khi Mua

Bài 6: Cho hệ phương trình: $ displaystyle left{ egin{array}{l}x+my=m+1\mx+y=2mend{array}
ight.$ ($ displaystyle m$ là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi $ displaystyle m=2$.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm $ displaystyle left( x;y
ight)$ duy nhất thỏa mãn $ displaystyle left{ egin{array}{l}xge 2\yge 1end{array}
ight.$

Lời giải

a) Thay $ displaystyle m=1$ ta có hệ phương trình $ displaystyle left{ egin{array}{l}x+2y=3\2x+y=4end{array}
ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}x+2y=3\4x+2y=8end{array}
ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}3x=5\2x+y=4end{array}
ight.$ ⇔ $ displaystyle left{ egin{array}{l}x=frac{5}{3}\y=frac{2}{3}end{array}
ight.$

b) Xét hệ $ displaystyle left{ egin{array}{l}x+my=m+1,,,,,,,,left( 1
ight)\mx+y=2m,,,,,,,,,,,left( 2
ight)end{array}
ight.$

Từ (2) $ displaystyle Rightarrow y=2m-mx$ thay vào (1) ta được $ displaystyle x+mleft( 2m-mx
ight)=m+1Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-{{m}^{2}}x+x=m+1$

⇔ $ displaystyle left( {1-{{m}^{2}}}
ight)x=-2{{m}^{2}}+m+1$

⇔ $ displaystyle left( {{{m}^{2}}-1}
ight)x=2{{m}^{2}}-m-1=(m-1)left( {2m+1}
ight)$ (3)

Hệ phương trình đã cho $ displaystyle Leftrightarrow left( 3
ight)$ có nghiệm duy nhất có nghiệm duy nhất $ displaystyle {{m}^{2}}-1
e 0Leftrightarrow m
e pm 1$ (*)

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $ displaystyle left{ egin{array}{l}x=frac{2m+1}{m+1}\y=frac{m}{m+1}end{array}
ight.$

Ta có $ displaystyle left{ egin{array}{l}xge 2\yge 1end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}frac{2m+1}{m+1}ge 2\frac{m}{m+1}ge 1end{array}
ight.Leftrightarrow left{ egin{array}{l}frac{-1}{m+1}ge 0\frac{-1}{m+1}ge 0end{array}
ight.Leftrightarrow m+1

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình