Các Phương Pháp Giải Phương Trình Hệ Phương Trình, Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình

Phương pháp đặt ẩn số phụ:Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:$left{ egin{array} {x^2} + 1 + yleft( {x + y}
ight) = 4y,,,, \ left( {{x^2} + 1}
ight)left( {x + y – 2}
ight) =y,,,,,,,, \ end{array}
ight.,left( { ext{I}}
ight)$GiảiDễ thấy y = 0 không thỏa hệ (I), nên ta có:$left( { ext{I}}
ight)left{ egin{array} frac{{{x^2} + 1}}{y} + x + y = 4,,, \ left( {frac{{{x^2} + 1}}{y}}
ight)left( {x + y – 2}
ight) =1,,,,,,,, \ end{array}
ight.$Đặt $u = frac{{{x^2} + 1}}{y},,,,v = x + y – 2$, ta có: $left{egin{array} u + v = 2 \ uv = 1,,,, \ end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array} u = 1 \ v = 1 \ end{array}
ight.$Khi đó, suy ra: $left{ egin{array} frac{{{x^2} + 1}}{y} = 1 \ x + y – 2 = 1 \ end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array} y = {x^2} + 1 \ y + x = 3 \ end{array}
ight. Leftrightarrow left< egin{array} x = 1,,,,,, Rightarrow y = 2 \ x = - 2,, Rightarrow y = 5 \ end{array} ight.$Vậy nghiệm của hệ là: $left( {x;y} ight) = left( {1;2} ight),left( { -2;5} ight)$.Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau:$left{ egin{array} 4xy + 4left( {{x^2} + {y^2}}
ight) + frac{3}{{{{left( {x + y}
ight)}^2}}} = 7 \ 2x + frac{1}{{x + y}} = 3 \ end{array}
ight.,,,,,left( {{ ext{II}}}
ight),,,,$GiảiĐiều kiện: x + y ≠ 0. Khi đó:$left( {{ ext{II}}}
ight) Leftrightarrow left{ egin{array} 3{left( {x + y}
ight)^2} + {left( {x – y}
ight)^2} +frac{3}{{{{left( {x + y}
ight)}^2}}} = 7 \ x + y + frac{1}{{x + y}} + x – y = 3 \ end{array}
ight.,,,,,,$Đặt $u = x + y + frac{1}{{x + y}}$ (điều kiện: $left| u
ight|geqslant 2$),$,,,,v = x – y$$left( {{ ext{II}}}
ight) Rightarrow left{ egin{array} 3{u^2} + {v^2} = 13 \ u + v = 3 \ end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array} v = 3 – u \ 3{u^2} + {left( {3 – u}
ight)^2} = 13 \ end{array}
ight. Rightarrow left< egin{array} u = 2 Rightarrow v = 1 \ u = - frac{1}{2}, \ end{array} ight.$Suy ra: $left{ egin{array} x + y + frac{1}{{x + y}} = 2 \ x - y = 1 \ end{array} ight. Leftrightarrow left{ egin{array} x = 1 \ y = 0 \ end{array} ight.$Vậy hệ có một nghiệm duy nhất $left( {x;y} ight) = left( {1;0} ight)$Bài tập rèn luyệnGiải các hệ phương trình sau:$egin{array} a)left{ {egin{array}{*{20}{c}} {2{x^2}{y^2} + {x^2} + 2x = 2} \ {2{x^2}y – {x^2}{y^2} + 2xy = 1} end{array};{ ext{b)}}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x + y + xy = 5} \ {{{(x + 1)}^3} + {{(y + 1)}^3} = 35} end{array}}
ight.}
ight. \ c)left{ {egin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} + x + y = 4} \ {x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2} end{array}{ ext{d)}}}
ight.left{ {egin{array}{*{20}{c}} {sqrt {2x + y + 1} – sqrt {x + y} = 1} \ {3x + 2y = 4} end{array}}
ight. \ end{array} $3. Phương pháp cộng:Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:$left{ egin{array} sqrt {x + 1} + sqrt {y – 1} = 4 \ sqrt {x + 6} + sqrt {y + 4} = 6 \ end{array}
ight.$GiảiĐiều kiện: $x geqslant – 1,,,,y geqslant 1$Cộng và trừ vế theo vế của hai phương trình, ta có:$left{ egin{array} sqrt {x + 6} + sqrt {x + 1} + sqrt {y + 4} + sqrt{y – 1} = 4 \ sqrt {x + 6} – sqrt {x + 1} + sqrt {y + 4} – sqrt{y – 1} = 6 \ end{array}
ight.,,,,,left( *
ight)$Đặt $u = sqrt {x + 6} + sqrt {x + 1}Rightarrow sqrt {x + 6} – sqrt {x + 1} = frac{5}{u}$$v = sqrt {y + 4} + sqrt {y – 1} Rightarrow sqrt {y + 4}- sqrt {y – 1} = frac{5}{v}$Khi đó hệ (*) trở thành$left{ egin{array} u + v = 10 \ frac{5}{u} + frac{5}{v} = 2 \ end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array} u = 5 \ v = 5 \ end{array}
ight. Rightarrow left{ egin{array} sqrt {x + 6} + sqrt {x + 1} = 5 \ sqrt {y + 4} + sqrt {y – 1} = 5 \ end{array}
ight. Leftrightarrow left{ egin{array} x = 3 \ y = 4 \ end{array}
ight.$Vậy nghiệm của hệ là $left( {x;y}
ight) = left( {3;4}
ight)$Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:$left{ egin{array} sqrt {{x^2} + 91} = sqrt {y – 2} + {y^2},,,,left( 1
ight) \ sqrt {{y^2} + 91} = sqrt {x + 2} + {x^2},,,,left( 2
ight) \ end{array}
ight.$GiảiĐiều kiện: $x,y > 2$Lấy (1) trừ (2) ta được:$egin{array} ,,,,,,,sqrt {{x^2} + 91} – sqrt {{y^2} + 91} =sqrt {y – 2} – sqrt {x + 2} + {y^2} – {x^2} \ Leftrightarrow frac{{{x^2} – {y^2}}}{{sqrt {{x^2} + 91} +sqrt {{y^2} + 91} }} = frac{{y – x}}{{sqrt {y – 2} + sqrt {x + 2} }}+ {y^2} – {x^2} \ Leftrightarrow left( {x – y}
ight)underbrace {left({frac{{x + y}}{{sqrt {{x^2} + 91} + sqrt {{y^2} + 91} }} +frac{1}{{sqrt {y – 2} + sqrt {x + 2} }} + x + y}
ight)}_{ >,0forall ,x,y,, > ,,2} = 0 \ Leftrightarrow ,x = y \ end{array} $Thế $x = y$ vào phương trình (1), ta có:$egin{array} ,,,,,,,sqrt {{x^2} + 91} = sqrt {x – 2} + {x^2}Leftrightarrow sqrt {{x^2} + 91} – 10 = sqrt {x – 2} – 1 + {x^2}- 9 \ Leftrightarrow frac{{{x^2} – 9}}{{sqrt {{x^2} + 91} +20}} = frac{{x – 3}}{{sqrt {x – 2} + 1}} + left( {x – 3}
ight)left({x + 3}
ight) \ Leftrightarrow left( {x – 3}
ight)underbrace {left< {left({x + 3} ight)left( {frac{1}{{sqrt {{x^2} + 91} + 10}} - 1} ight) -frac{1}{{sqrt {x - 2} + 1}}} ight>}_{ > ,0forall ,x,y,, >,,2,} = 0 \ Leftrightarrow x = 3 Rightarrow y = 3 \ end{array} $Vậy hệ có mộ nghiệm duy nhất: $left( {x;y}
ight) = left( {3;3}
ight)$Bài tập rèn luyệnGiải các hệ phương trình sau:$egin{array} a)left{ {egin{array}{*{20}{c}} {x + y + xy =1{ ext{}}} \ {{x^2} + {y^2} + 3(x + y) = 28} end{array};{ ext{b)}}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {sqrt {x + frac{1}{y}} + sqrt {x + y – 3} = 3} \ {2x + y + frac{1}{y} = 5} end{array}}
ight.}
ight. \ b)left{ {egin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + y + {x^3}y + x{y^2} + xy = frac{{ – 5}}{4}} \ {{x^4} + {y^2} + xy(1 + 2x) = frac{{ – 5}}{4}} end{array}}
ight.{ ext{c)}}left{ {egin{array}{*{20}{c}} {2 + 6y = frac{x}{y} – sqrt {x – 2y} } \ {sqrt {x – sqrt {x – 2y} } = x + 3y – 2} end{array}}
ight. \ end{array} $4. Phương pháp dùng bất đẳng thức:Ví dụ 8: Giải hệ phương trình sau:$left{ egin{array} sqrt {x + 1} + sqrt {y + 1} + sqrt {z + 1} =6 \ x + y + z = 9 \ end{array}
ight.$GiảiĐiều kiện: $x,y,z geqslant – 1$Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:${left( {1.sqrt {x + 1} + 1.sqrt {y + 1} + 1.sqrt {z + 1} }
ight)^2} leqslant 3left( {x + y + z}
ight) = 36$Suy ra: $sqrt {x + 1} + sqrt {y + 1} + sqrt {z + 1}leqslant 6$Đẳng thức xảy ra $ Leftrightarrow x = y = z = 3$ thỏa mản phương trình thứ haicủa hệ.Vậy hệ có một nghiệm duy nhất $left( {x;y;z}
ight) = left( {3;3;3}
ight)$Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau: $left{ egin{array} frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = y \ frac{{3{y^3}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} = z \ frac{{4{z^4}}}{{{z^6} + {z^4} + {z^2} + 1}} = x \ end{array}
ight.$GiảiVì $frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = y geqslant 0$nên xảy ra hai trường hợp sau: Với y = 0, khi đó x = y = z = 0vVậy $left( {x;y;z}
ight) = left( {0;0;0}
ight)$ là một nghiệm của hệphương trình. Với yv > 0, khi đóx > 0, z > 0.Dễ thấy ${x^2} + 1 geqslant 2{x^2}$ nên $frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}}leqslant x,,{ ext{hay}},,y leqslant x$.Theo BĐT Cauchy, ta có:${y^4} + {y^2} + 1 geqslant 3sqrt<3>{{{y^4}.{y^2}.1}} = 3{y^2} Rightarrowfrac{{3{y^2}}}{{{y^4} + {y^2} + 1}} leqslant y,,{ ext{hay}},,z leqslanty$Từ phương trình thứ 3 của hệ suy ra $x leqslant z$. Vậy $x leqslant yleqslant z leqslant x$, điều này xảy ra $ Leftrightarrow x = y = z$. Thay vào phương trình đầu ta được $x = y = z = 1$ (thoả)Vậy nghiệm của hệ là $left( {x;y;z}
ight) = left( {0;0;0}
ight)left({1;1;1}
ight)$Bài tập rèn luyệnGiải các hệ phương trình sau:$left. a
ight)left{ {egin{array}{*{20}{c}} {(x – 1)sqrt y + (y – 1)sqrt x = sqrt {2xy} } \ {xsqrt {y – 1} + ysqrt {x – 1} = xy} end{array}}
ight.{ ext{ }}left. \b
ight)left{ {egin{array}{*{20}{c}} {sqrt {4x + 1} + sqrt {4y + 1} + sqrt {4z + 1} = 9}\ {x + y + z = 6{ ext{}}} end{array}}
ight.$