Các Dạng Hệ Phương Trình Nâng Cao Và Cách Giải, Tài Liệu Hệ Phương Trình Nâng Cao Chọn Lọc

Trong các đề thi Toán vào lớp chuyên, chọn, THPT chuyên hoặc các đề thi học sinh giỏi Toán 9 thi thoảng vẫn xuất hiện các hệ phương trình bậc cao.

Đang xem: Các dạng hệ phương trình nâng cao và cách giải

Và dưới đây là các phương pháp giải hệ PT bậc cao mà Trung tâm Gia sư Hà Nội muốn chia sẻ với các em.

A. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC

Điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phương pháp biến đổi theo các hằng đẳng thức: Ta xét các ví dụ sau:

Giải a) Điều kiện: $ xle 2,yge frac{1}{2}$. Phương trình (1) tương đương: $ left( 2-x
ight)sqrt{2-x}+sqrt{2-x}=left( 2y-1
ight)sqrt{2y-1}+sqrt{2y-1}$ Đặt $ a=sqrt{2-x},b=sqrt{2y-1}$. Ta có phương trình: $ displaystyle {{a}^{3}}+a={{b}^{3}}+b$ ⇔ $ displaystyle left( a-b
ight)left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+1
ight)=0$ . Do $ {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+1={{left( a+frac{b}{2}
ight)}^{2}}+frac{3{{b}^{2}}}{4}+1>0$ suy ra phương trình cho ta $ displaystyle a=b$ $ sqrt{2y-1}=sqrt{2-x}Leftrightarrow x=3-2y$ thay vào ta có: $ sqrt<3>{5-2y}+2sqrt{y+2}=5Leftrightarrow $ Đặt $ a=sqrt<3>{5-2y};b=sqrt{y+2}$ ta có hệ phương trình sau: $ left{ egin{array}{l}a+2b=5\{{a}^{3}}+2{{b}^{2}}=9end{array}
ight.Leftrightarrow left< egin{array}{l}a=1;b=2\a=frac{-3-sqrt{65}}{4};b=frac{23+sqrt{65}}{8}\a=frac{sqrt{65}-3}{4};b=frac{23-sqrt{65}}{8}end{array} ight.$. $ Leftrightarrow left< egin{array}{l}y=2\y=frac{233+23sqrt{65}}{32}\y=frac{233-23sqrt{65}}{32}end{array} ight.$ Vậy hệ có nghiệm $ left( x;y ight)=left( -1;2 ight),left( frac{23sqrt{65}-185}{16};frac{233-23sqrt{65}}{32} ight),left( -frac{23sqrt{65}+185}{16};frac{233+23sqrt{65}}{32} ight)$ b) Điều kiện: $ yge -1$. Ta viết lại phương trình (1) thành: $ {{y}^{3}}-{{x}^{6}}+2{{x}^{2}}left( y-{{x}^{2}} ight)=0$ $ Leftrightarrow left( y-{{x}^{2}} ight)left( {{y}^{2}}+y{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} ight)=0Leftrightarrow left< egin{array}{l}y={{x}^{2}}\x=y=0end{array} ight.$ Dễ thấy $ x=y=0$ không phải là nghiệm. Khi $ y={{x}^{2}}$ thay vào (2) ta được: $ left( x+2 ight)sqrt{{{x}^{2}}+1}={{left( x+1 ight)}^{2}}Rightarrow {{left( x+2 ight)}^{2}}left( {{x}^{2}}+1 ight)={{left( x+1 ight)}^{4}}Leftrightarrow left< egin{array}{l}x=sqrt{3},y=3\x=-sqrt{3},y=3end{array} ight.$ (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm $ left( x;y ight)=left( pm sqrt{3};3 ight)$. Xem thêm: Cách Gỡ Cài Đặt Facebook Trên Máy Tính, Pc, Hướng Dẫn Gỡ, Loại Bỏ Ứng Dụng Trên Facebook

Giải a) Điều kiện: $ xge -frac{5}{4}$. Ta thấy $ y=0$ không là nghiệm của hệ. chia hai vế của (1) cho $ {{y}^{5}}$ ta được: $ {{left( frac{x}{y}
ight)}^{5}}+frac{x}{y}={{y}^{5}}+y$ . Đặt $ a=frac{x}{y}$ ta có phương trình: $ {{a}^{5}}+a={{y}^{5}}+y$ suy ra $ left( a-y
ight)left( {{a}^{4}}+{{a}^{3}}y+{{a}^{2}}{{y}^{2}}+a{{y}^{3}}+1
ight)=0Leftrightarrow y=aLeftrightarrow x={{y}^{2}}$ $ sqrt{4x+5}+sqrt{x+8}=6Leftrightarrow x=1Rightarrow y=pm 1$. Từ đó tính được $ y=pm 1$ Vậy hệ đã cho có nghiệm $ left( x;y
ight)=left( 1;pm 1
ight)$. b) Điều kiện: $ xge -2;yle frac{3}{2}$.Ta thấy khi thì hệ không có nghiệm. Chia phương trình (1) cho $ {{x}^{2}}
e 0$: $ left( 1
ight)Leftrightarrow 2-frac{4}{x}+frac{3}{{{x}^{2}}}-frac{1}{{{x}^{3}}}=left( 4-2y
ight)sqrt{3-2y}$ $ Leftrightarrow {{left( 1-frac{1}{x}
ight)}^{3}}+left( 1-frac{1}{x}
ight)={{left( sqrt{3-2y}
ight)}^{3}}+sqrt{3-2y}$ Đặt $ displaystyle a=1-frac{1}{x},b=sqrt{3-2y}$ . Ta có $ {{a}^{3}}+a={{b}^{3}}+b$ ⇒ $ a=b$ ⇔ $ sqrt{3-2y}=1-frac{1}{x}$. Thay vào (2) ta được: $ x+2-sqrt<3>{15-x}=1Leftrightarrow x+1=sqrt<3>{15-x}Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-14=0$. ⇔ $ x=7Rightarrow y=frac{111}{98}$. Vậy hệ có nghiệm $ left( x;y
ight)=left( 7;frac{111}{98}
ight)$.

B. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x, HOẶC y

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn $ x$ hoặc $ y$ ta có thể nghĩ đến các hướng xử lý như sau: * Nếu $ Delta $ chẵn, ta giải $ x$ theo $ y$ rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp * Nếu $ Delta $ không chẵn ta thường xử lý theo cách: + Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức + Dùng điều kiện $ Delta ge 0$ để tìm miền giá trị của biến $ x,y$. Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị $ displaystyle x,y$ vừa tìm được: Ta xét ví dụ sau:

Giải Xét phương trình (1) của hệ ta có: $ xy+x+y={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}Leftrightarrow {{x}^{2}}-x(y+1)-2{{y}^{2}}-y=0$. Ta coi đây là phương trình bậc 2 của $ x$ thì ta có: $ Delta ={{(y+1)}^{2}}+8{{y}^{2}}+4y={{(3y+1)}^{2}}$. Từ đó suy ra $ left< egin{array}{l}x=frac{y+1-(3y+1)}{2}=-y\x=frac{y+1+(3y+1)}{2}=2y+1end{array} ight.$ Trường hợp 1: $ x=-y$. Từ phương trình của hệ ta có điều kiện: $ left{ egin{array}{l}xge 1\yge 0end{array} ight.$ suy ra phương trình vô nghiệm Trường hợp 2: $ x=2y+1$ thay vào phương trình thứ hai ta có: $ egin{array}{l}(2y+1)sqrt{2y}-ysqrt{2y}=2y+2Leftrightarrow ysqrt{2y}+sqrt{2y}=2(y+1)\Leftrightarrow (y+1)left( sqrt{2y}-2 ight)=0Leftrightarrow y=2Rightarrow x=5end{array}$ Vậy hệ có một cặp nghiệm: $ (x;y)=(5;2)$ b) Xét phương trình (1) của hệ ta có: $ 2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3xy+3x-2y+1=0Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x(3-3y)+{{y}^{2}}-2y+1=0$ Coi đây là phương trình bậc 2 của $ x$ ta có: $ Delta ={{(3-3y)}^{2}}-8left( {{y}^{2}}-2y+1 ight)={{y}^{2}}-2y+1={{(y-1)}^{2}}$ Suy ra $ left< egin{array}{l}x=frac{3y-3-(y-1)}{4}=frac{y-1}{2}\x=frac{3y-3+(y-1)}{4}=y-1end{array} ight.$ Trường hợp 1: $ y=x+1$ thay vào phương trình (2) ta thu được: $ egin{array}{l}3{{x}^{2}}-x+3=sqrt{3x+1}+sqrt{5x+4}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3x+(x+1-sqrt{3x+1})+(x+2-sqrt{5x+4})=0end{array}$ ⇔ $ left( {{x}^{2}}-x ight)left< 3+frac{1}{x+1+sqrt{3x+1}}+frac{1}{x+2+sqrt{5x+4}} ight>=0$ Do $ xge -frac{1}{3}$ nên $ 3+frac{1}{x+1+sqrt{3x+1}}+frac{1}{x+2+sqrt{5x+4}}>0$ ⇒ $ {{x}^{2}}-x=0Leftrightarrow left< egin{array}{l}x=0\x=1end{array} ight.$ Trường hợp 2: $ y=2x+1$ thay vào phương trình (2) ta thu được: $ 3-3x=sqrt{4x+1}+sqrt{5x+4}Leftrightarrow sqrt{4x+1}+sqrt{5x+4}+3x-3=0$ Giải tương tự như trên ta được $ x=0$. Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: $ (x;y)=(0;1),(1;2)$

C. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ $ x,y$. Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp.

Xem thêm: mẫu báo cáo tài chính nội bộ trên file excel

Giải a) Điều kiện: $ 0le x,yle frac{1}{2}$. Đặt $ a=sqrt{2}x,b=sqrt{2}y;a,bin left< 0;frac{1}{sqrt{2}} ight>$. Ta có: $ VT=frac{1}{sqrt{1+{{a}^{2}}}}+frac{1}{sqrt{1+{{b}^{2}}}}le sqrt{2left( frac{1}{1+{{a}^{2}}}+frac{1}{1+{{b}^{2}}}
ight)}$. Ta sử dụng bổ đề với $ a,b>0$ và $ able 1$ ta có bất đẳng thức: $ frac{1}{1+{{a}^{2}}}+frac{1}{1+{{b}^{2}}}le frac{2}{1+ab}Leftrightarrow frac{{{left( a-b
ight)}^{2}}left( ab-1
ight)}{left( 1+ab
ight)left( 1+{{a}^{2}}
ight)left( 1+{{b}^{2}}
ight)}le 0$ (đúng). Vậy $ VTle frac{2}{sqrt{1+ab}}=VP$. Đẳng thức xảy ra khi $ x=y$. Thay vào(2) ta tìm được nghiệm của phương trình. Nghiệm của hệ $ left( x;y
ight)=left( frac{9-sqrt{73}}{36};frac{9-sqrt{73}}{36}
ight),left( frac{9+sqrt{73}}{36};frac{9+sqrt{73}}{36}
ight)$. b) Điều kiện: $ xge {{y}^{2}}ge 0$. Phương trình (1) tương đương: $ {{x}^{3}}+xleft( x-{{y}^{2}}
ight)-2sqrt{{{left( x-{{y}^{2}}
ight)}^{3}}}=0$. Đặt $ sqrt{x-{{y}^{2}}}=u$ phương trình (1) thành: $ displaystyle {{x}^{3}}+x{{u}^{2}}-2{{u}^{3}}=0Leftrightarrow x=uLeftrightarrow {{y}^{2}}=x-{{x}^{2}}$ Thay vào (2) ta được: $ 96{{x}^{2}}-20x+2=sqrt<3>{32{{x}^{2}}+4x}$. Ta có $ 96{{x}^{2}}-20x+2=sqrt<3>{32{{x}^{2}}+4x}=sqrt<3>{1.1.left( 32{{x}^{2}}+4x
ight)}le frac{32{{x}^{2}}+4x+2}{3}$ $ Leftrightarrow 3left( 96{{x}^{2}}-20x+2
ight)le 32{{x}^{2}}+4x+2Leftrightarrow {{left( 16x-2
ight)}^{2}}le 0Leftrightarrow x=frac{1}{8}Rightarrow y=pm frac{sqrt{7}}{8}$ Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm $ left( x;y
ight)=left( frac{1}{8};pm frac{sqrt{7}}{8}
ight)$.

D. BÀI TẬP TỰ GIẢI

Câu 1: Giải hệ phương trình $ left{ egin{array}{l}2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy-5x+y+2=sqrt{y-2x+1}-sqrt{3-3x}\{{x}^{2}}-y-1=sqrt{4x+y+5}-sqrt{x+2y-2}end{array}
ight.$ Câu 2: Giải hệ phương trình $ left{ egin{array}{l}left| xy-2
ight|=4-{{y}^{2}}(1)\{{x}^{2}}-xy+1=0(2)end{array}
ight.$ Câu 3: Giải hệ phương trình $ displaystyle left{ egin{array}{l}8x-y=6\{{x}^{2}}-y=-6end{array}
ight.$ Câu 4: Giải hệ phương trình: $ displaystyle left{ egin{array}{l}frac{3}{2x}-y=6\frac{1}{x}+2y=-4end{array}
ight.$ Câu 5: Tìm $ displaystyle x;y$ thỏa mãn : $ displaystyle left{ egin{array}{l}(x+sqrt{2015+{{x}^{2}}})(y+sqrt{2015+{{y}^{2}}})=2015\3{{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-12xy=23end{array}
ight.$