Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn Toán 10

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và các dạng toán liên quan trong chương trình Đại số 10 chương 4.

Đang xem: Bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG1. Giải và biện luận bất phương trình dạng $ax+bGiải và biện luận bất phương trình dạng $ax+b• Nếu $a=0$ thì bất phương trình có dạng $0x+b+ Với $b+ Với $bge 0$ thì tập nghiệm bất phương trình là $S = emptyset .$• Nếu $a>0$ thì $ax+b• Nếu $a-frac{b}{a}$ suy ra tập nghiệm là $S=left( -frac{b}{a};+infty
ight).$Các bất phương trình dạng $ax+b>0$, $ax+ble 0$, $ax+bge 0$ được giải tương tự.2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình, khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

a) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ egin{matrix}xle 3 \left( {{m}^{2}}+2
ight)xge 3{{m}^{2}}-4m+6 \end{matrix}
ight.$ $Leftrightarrow left{ egin{matrix}xle 3 \xge frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2} \end{matrix}
ight.$Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2}le 3$ $Leftrightarrow mge 0.$Vậy $mge 0$ là giá trị cần tìm.b) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ egin{matrix}{{m}^{2}}x{{m}^{2}}xge 4m+1 \end{matrix}
ight.$+ Với $m=0$ ta có hệ bất phương trình trở thành $left{ egin{matrix}0x0xge 1 \end{matrix}
ight.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.+ Với $m
e 0$ ta có hệ bất phương trình tương đương với $left{ egin{matrix}xxge frac{4m+1}{{{m}^{2}}} \end{matrix}
ight.$Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $frac{m+2}{{{m}^{2}}}>frac{4m+1}{{{m}^{2}}}$ $Leftrightarrow mVậy $mVí dụ 7. Tìm $m$ để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:a) $left{ egin{align}& {{left( x-3
ight)}^{2}}ge {{x}^{2}}+7x+1 \& 2mle 8+5x \end{align}
ight.$b) $left{ egin{matrix}mx+1le x-1 \2left( x-3
ight)end{matrix}
ight.$

a) Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ egin{align}& xle frac{8}{13} \& xge frac{2m-8}{5} \end{align}
ight.$Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $Leftrightarrow frac{8}{13}frac{72}{13}.$Vậy $m>frac{72}{13}$ là giá trị cần tìm.b) Hệ bất phương trình tương đương với $left{ egin{matrix}left( m-1
ight)xle -2 \x>frac{14}{3} \end{matrix}
ight.$+ Với $m=1$ hệ bất phương trình trở thành $left{ egin{matrix}0xle -2 \x>frac{14}{3} \end{matrix}
ight.$ (hệ bất phương trình vô nghiệm).+ Với $m>1$ hệ bất phương trình $left{ egin{matrix}xle frac{-2}{m-1} \x>frac{14}{3} \end{matrix}
ight.$ suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm $Leftrightarrow frac{-2}{m-1}le frac{14}{3}$ $Leftrightarrow -6le 14left( m-1
ight)$ $Leftrightarrow mge frac{4}{7}.$Do đó $m>1$ thì hệ bất phương trình vô nghiệm.+ Với $mxge frac{-2}{m-1} \x>frac{14}{3} \end{matrix}
ight.$ (hệ bất phương trình luôn có nghiệm).Vậy giá trị cần tìm là $mge 1.$

Ví dụ 8. Tìm $m$ để hệ bất phương trình $left{ egin{align}& 2mleft( x+1
ight)ge x+3 \& 4mx+3ge 4x \end{align}
ight.$ có nghiệm duy nhất.

Hệ bất phương trình tương đương với: $left{ egin{matrix}left( 2m-1
ight)xge 3-2m \left( 4m-4
ight)xge -3 \end{matrix}
ight.$Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì $frac{3-2m}{2m-1}=frac{-3}{4m-4}$ $Leftrightarrow 8{{m}^{2}}-26m+15=0$ $Leftrightarrow m=frac{3}{4}$ hoặc $m=frac{5}{2}.$+ Với $m=frac{3}{4}$ hệ phương trình trở thành $left{ egin{matrix}left( frac{3}{2}-1
ight)xge 3-frac{3}{2} \-xge -3 \end{matrix}
ight.$ $Leftrightarrow left{ egin{matrix}xge 3 \xle 3 \end{matrix}
ight.$ $Leftrightarrow x=3.$+ Với $m=frac{5}{2}$ hệ phương trình trở thành $left{ egin{matrix}4xge -2 \6xge -3 \end{matrix}
ight.$ $Leftrightarrow xge -frac{1}{2}.$Vậy giá trị cần tìm là $m=frac{3}{4}.$

Dạng toán 3. Bất phương trình quy về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.Ví dụ 9. Giải và biện luận bất phương trình $frac{mx-m+1}{x-1}>0.$

Điều kiện xác định: $x
e 1.$Bất phương trình tương đương với $left{ egin{matrix}x>1 \mx-m+1>0 \end{matrix}
ight.$ $(3)$ hoặc $left{ egin{matrix}xmx-m+1end{matrix}
ight.$ $(4).$+ Trường hợp 1: $m>0$ ta có $(3)$ $Leftrightarrow left{ egin{matrix}x>1 \x>frac{m-1}{m} \end{matrix}
ight.$ và $(4)$ $Leftrightarrow left{ egin{matrix}xxend{matrix}
ight.$Vì $frac{m-1}{m}0$, do đó $left( 3
ight)$ $Leftrightarrow x>1$ và $left( 4
ight)$ $Leftrightarrow xSuy ra nghiệm của bất phương trình là: $xin left( -infty ;frac{m-1}{m}
ight)cup left( 1;+infty
ight).$+ Trường hợp 2: $m=0$, bất phương trình trở thành: $frac{1}{x-1}>0$ $Leftrightarrow x-1>0$ $Leftrightarrow x>1.$Suy ra nghiệm của bất phương trình là $xin left( 1;+infty
ight).$+ Trường hợp 3: $mx>1 \xend{matrix}
ight.$ và $(4)$ $Leftrightarrow left{ egin{matrix}xx>frac{m-1}{m} \end{matrix}
ight.$Vì $frac{m-1}{m}>1$ với mọi $mSuy ra nghiệm của bất phương trình là $xin left( 1;frac{m-1}{m}
ight).$Kết luận:$m>0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( -infty ;frac{m-1}{m}
ight)cup left( 1;+infty
ight).$$m=0$ tập nghiệm của bất phương trình là $S=left( 1;+infty
ight).$$mVí dụ 10. Cho bất phương trình $sqrt{left( {{m}^{2}}-4
ight)x-m+3}>2.$a) Giải bất phương trình khi $m=1.$b) Tìm $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$

a) Khi $m=1$ bất phương trình trở thành $sqrt{-3x+2}>2$ $Leftrightarrow left{ egin{matrix}-3x+2ge 0 \-3x+2ge 4 \end{matrix}
ight.$ $Leftrightarrow xle -frac{2}{3}.$Vậy tập nghiệm bất phương trình là $ ext{S}=(-infty ;-frac{2}{3}>.$b) Điều kiện xác định: $left( {{m}^{2}}-4
ight)x-m+3ge 0.$Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thì khi đó điều kiện $left( {{m}^{2}}-4
ight)x-m+3ge 0$ đúng với mọi $x.$Suy ra ${{m}^{2}}-4=0$ $Leftrightarrow m=pm 2.$Với $m=2$ ta có bất phương trình trở thành $sqrt{0.x-2+3}>2$ (vô nghiệm).Với $m=-2$ ta có bất phương trình trở thành $sqrt{0.x+2+3}>2$ (đúng với mọi $x$).Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.

Xem thêm: Khóa Học Bác Sĩ Máy Tính Chuyên Sâu, Bác Sỹ Máy Tính

Ví dụ 11. Cho bất phương trình $sqrt{x-1}(x-2m+2)ge 0.$a) Giải bất phương trình khi $m=2.$b) Tìm $m$ để mọi $xin left< 2;3 ight>$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.

a) Khi $m=2$ bất phương trình trở thành $sqrt{x-1}(x-2)ge 0.$Bất phương trình tương đương với $left< egin{matrix}sqrt{x-1}=0 \left{ egin{align}& x-1ge 0 \& x-2ge 0 \end{align} ight. \end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left< egin{matrix}x=1 \left{ egin{matrix}xge 1 \xge 2 \end{matrix} ight. \end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left< egin{matrix}x=1 \xge 2 \end{matrix} ight.$Vậy tập nghiệm bất phương trình là $ ext{S}=left{ 1 ight}cup <2;+infty ).$b) Bất phương trình tương đương với $left< egin{matrix}sqrt{x-1}=0 \left{ egin{align}& x-1ge 0 \& x-2m+2ge 0 \end{align} ight. \end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left< egin{matrix}x=1 \left{ egin{align}& xge 1 \& xge 2m-2 \end{align} ight. \end{matrix} ight.$+ Trường hợp 1: $2m-2>1$ $Leftrightarrow m>frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $Leftrightarrow left< egin{matrix}x=1 \xge 2m-2 \end{matrix} ight.$Suy ra tập nghiệm bất phương trình là $S=left{ 1 ight}cup <2m-2;+infty ).$Do đó mọi $xin left< 2;3 ight>$ đều là nghiệm của bất phương trình đã cho $Leftrightarrow left< 2;3 ight>subset S$ $Leftrightarrow 2m-2le 2$ $Leftrightarrow mle 2.$Suy ra $frac{3}{2}+ Trường hợp 2: $2m-2=1$ $Leftrightarrow m=frac{3}{2}$: Ta có bất phương trình $Leftrightarrow left< egin{matrix}x=1 \xge 1 \end{matrix}Leftrightarrow xge 1 ight. .$Suy ra $m=frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.+ Trường hợp 3: $2m-2x=1 \xge 1 \end{matrix}Leftrightarrow xge 1 ight. .$Suy ra $mVậy giá trị cần tìm là $mle 2.$