Hệ Phương Trình Đối Xứng Loại 1 Và Bài Tập Về Phương Trình Đối Xứng Loại 1

Bài viết giúp bạn nhận diện được hệ phương trình đối xứng loại 1 và cách giải nhanh nhất. Đây là loại hệ phương trình khá phổ biến trong chương trình toán THCS, lên đến bậc THPT các em vẫn thường gặp với vai trò là các bài toán nhỏ trong một bài toán lớn. Cùng lingocard.vn theo dõi để đưa ra phương pháp giải nhanh chóng nhất.

Đang xem: Bài tập về phương trình đối xứng

Lý thuyết hệ phương trình đối xứng loại 1

Nội dung chủ đề này tôi đề cập đến phương pháp chung giải hệ phương trình đối xứng loại I và một số hệ đưa được về hệ đối xứng loại I thông qua các phép đặt ẩn phụ cơ bản. Ngoài ra đề cập ứng dụng của hệ đối xứng loại I trong giải phương trình vô tỷ và chứng minh bất đẳng thức.

1. Phương pháp giải

Đa thức đối xứng: Xét đa thức hai biến $x,y$ là $Pleft(
ight)$

Nếu $Pleft(
ight) = Pleft(
ight)$ với mọi $x,y in R$ thì ta nói $Pleft(
ight)$ là đa thức đối xứng.

Hệ phương trình đối xứng loại I là hệ phương trình có dạng: $leftFleft(
ight) = 0\Gleft(
ight) = 0end
ight.$

Trong đó: $Fleft(
ight);Gleft(
ight)$ là các đa thức đối xứng với $x,y$.

– Hệ đối xứng loại I là hệ mà vai trò của $x,y$ trong mỗi phương trình của hệ là như nhau.

– Nếu $left( ,}
ight)$ là nghiệm của hệ thì $left( ,}
ight)$ cũng là nghiệm của hệ.

Ví dụ 1. Hệ phương trình $left + = xy + x + y\xy = x + y – 1end
ight.$

Với hệ này đổi vay trò của $x,y$ thì hệ không thay đổi.

2. Phương pháp chung

Đặt $leftS = x + y\P = xyend
ight.$ với điều kiện $ ge 4P$ tìm được $S,P$

Khi đó theo định lý Vi-ét $x,y$ là hai nghiệm của phương trình: $ – St + P = 0$.

Lưu ý : Một số trường hợp ta phải đặt $S = x – y,P = xy$ và lúc này ta phải có $ ge – 4P$ thực chất là hệ được suy ra từ hệ đối xứng loại 1 khi thay $y$ bởi $ – y$. Một số bài toán đơn giản mà khi biến đổi $S,P$ chỉ có dạng bậc nhất hoặc dạng bậc hai ta có thể không cần đặt ẩn phụ và cứ thế tiến hành biến đổi tương đương. Khi tìm được $S,P$ việc tìm $x,y$ không cần chi tiết mà chỉ ra chỉ ra nghiệm $left(
ight)$ bằng bao nhiêu.

Một số hằng đẳng thức hay được sử dụng:

$ + =
ight)^2} – 2xy = – 2P$

$ – xy + =
ight)^2} – 3xy = – 3P$

$ + xy + =
ight)^2} – xy = – P$

$ + = left(
ight)left< ight)}^2} – 3xy} ight> = Sleft( – 3P}
ight)$

$ + =
ight)}^2} – 2xy}
ight>^2} – 2 = – 2P}
ight)^2} – 2$

$ + + = left( + – xy}
ight)left( + + xy}
ight) = – 2P}
ight)^2} – $

$frac + frac = frac}} = frac$

$frac}} + frac}} = frac + }}}} = frac – 2P}}}}$

Đặc điểm của dạng toán này là đôi khi số nghiệm của hệ thì chỉ có nghiệm duy nhất hoặc có số nhiệm chẵn và đôi khi rất nhiều nghiệm có khi đến 8 hoặc 16 nghiệm.

Bài tập mẫu về hệ phương trình đối xứng loại 1

Bài 1. Giải hệ phương trình $left + + x + y = 4\xleft(
ight) + yleft(
ight) = 2end
ight.$

Lời giải

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left + + x + y = 4\ + + x + y + xy = 2end
ight. Leftrightarrow left + + x + y = 4\xy = – 2end
ight.$

$ Leftrightarrow left
ight)^2} – 2xy + x + y = 4\xy = – 2end
ight. Leftrightarrow left
ight)^2} + x + y = 0\xy = – 2end
ight.$

$ Leftrightarrow left< eginleftx + y = 0\xy = – 2end ight.\leftx + y = – 1\xy = – 2end ight.end ight. Leftrightarrow leftx = sqrt 2 \y = – sqrt 2 end ight. vee leftx = – sqrt 2 \y = sqrt 2 end ight. vee leftx = 1\y = – 2end ight. vee leftx = – 2\y = 1end ight.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: $left(
ight) = left(
ight);left(
ight);left(
ight);left(
ight)$

Bài 2. Giải hệ phương trình $leftx + y + 2xy = 2\ + = 8end
ight.$

Lời giải

Đặt $leftS = x + y\P = xyend
ight.,left( ge 4P}
ight)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$leftS + 2P = 2\Sleft( – 3P}
ight) = 8end
ight. Leftrightarrow leftP = frac}\Sleft( – frac}}
ight) = 8end
ight. Leftrightarrow left2 + 3 – 6S – 16 = 0\P = frac}end
ight.$

$ Leftrightarrow left\left(
ight)left( + 7S + 8}
ight) = 0\P = frac}end
ight. Leftrightarrow leftS = 2\P = 0end
ight. Leftrightarrow leftx + y = 2\xy = 0end
ight. Leftrightarrow left< eginleftx = 2\y = 0end ight.\leftx = 0\y = 2end ight.end ight.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $left(
ight) = left(
ight);left(
ight)$

Bài 3. Giải hệ phương trình $left + = 19\left(
ight)left(
ight) = 2end
ight.$

Lời giải

Đặt $leftS = x + y\P = xyend
ight.,left( ge 4P}
ight)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$leftSleft( – 3P}
ight) = 19\Sleft(
ight) = 2end
ight. Leftrightarrow left – 3left(
ight) = 19\SP = 2 – 8Send
ight. Leftrightarrow left + 24S – 25 = 0\P = frac}end
ight.$

$ Leftrightarrow left\left(
ight)left( + S + 25}
ight) = 0\P = frac}end
ight. Leftrightarrow leftS = 1\P = – 6end
ight. Leftrightarrow leftx + y = 1\xy = – 6end
ight.$

$ Leftrightarrow leftx = 3\y = – 2end
ight. vee leftx = – 2\y = 3end
ight.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $left(
ight) = left(
ight);left(
ight)$

Bài 4.

Giải hệ phương trình $left2left(
ight) = 3left( y}} + sqrt<3>}}}
ight)\sqrt<3> + sqrt<3> = 6end
ight.$

Lời giải

Đặt $sqrt<3> = a,sqrt<3> = b$. Khi đó hệ phương trình trở thành: $left2left( + }
ight) = 3left( b + a}
ight)\a + b = 6end
ight.$

Đặt $leftS = a + b\P = abend
ight.,left( ge 4P}
ight)$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$left2Sleft( – 3P}
ight) = 3SP\S = 6end
ight. Leftrightarrow leftS = 6\P = 8end
ight. Leftrightarrow lefta + b = 6\ab = 8end
ight.$

$ Leftrightarrow lefta = 4\b = 2end
ight. vee lefta = 2\b = 4end
ight. Leftrightarrow leftx = 64\y = 8end
ight. vee leftx = 8\y = 64end
ight.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: $left(
ight) = left(
ight);left(
ight)$

Bài 5. Giải hệ phương trình $left\sqrt + } + sqrt = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4end
ight.$

Lời giải

Cách 1 : Bình phương hai vế phương trình hai của hệ và rút $x + y$ theo $xy$ thế vào phương trình đầu của hệ.

Điều kiện $x ge 0,y ge 0$

Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left\sqrt
ight)}^2} – 2sqrt }
ight>}^2} – 2xy} + sqrt = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4end
ight.$

$ Leftrightarrow left\sqrt }
ight>}^2} – 2xy} + sqrt = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4end
ight.$

$ Leftrightarrow left\sqrt + 256} + sqrt = 8sqrt 2 \sqrt x + sqrt y = 4end
ight. Leftrightarrow left\sqrt + 128} = 8 – sqrt \sqrt x + sqrt y = 4end
ight.$

$ Leftrightarrow leftxy – 32sqrt + 128 = 64 – 16sqrt + xy\sqrt le 8\sqrt x + sqrt y = 4end
ight. Leftrightarrow leftx + y = 8\xy = 16end
ight. Leftrightarrow x = y = 4$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $left(
ight) = left(
ight).$

Cách 2 : Từ hai phương trình của hệ ta có

$sqrt + }
ight)} + 2sqrt =
ight)^2}$

$ Leftrightarrow sqrt + }
ight)} = x + y Leftrightarrow 2left( + }
ight) = + 2xy + $

$ Leftrightarrow
ight)^2} = 0 Leftrightarrow x = y$

Thay $x = y$ vào phương trình thứ hai của hệ ta có kết quả tương tự.

Bài 6. Giải hệ phương trình $left + + 6 = 41\xyleft( + }
ight) = 10end
ight.$

Lời giải

Cách 1 : Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra $xy > 0$

Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left + }
ight)^2} + 4 = 41\xyleft( + }
ight) = 10end
ight. Leftrightarrow left\frac}}} + 4 = 41\xyleft( + }
ight) = 10end
ight. Leftrightarrow left4 – 41 + 100 = 0\xyleft< ight)}^2} – 2xy} ight> = 10end
ight.$

$ Leftrightarrow left\left< eginxy = 2 hfill \xy = frac hfill \ end ight. hfill \xyleft< ight)}^2} – 2xy} ight> = 10 hfill \ end
ight. Leftrightarrow left< eginleftx + y = pm 3 hfill \xy = 2 hfill \ end ight. hfill \leftx + y = pm 3 hfill \xy = frac hfill \ end ight. hfill \ end ight.$

Với $leftx + y = pm 3 hfill \xy = 2 hfill \ end
ight. Leftrightarrow left< eginx = 1;y = 2 hfill \x = 2;y = 1 hfill \x = – 1;y = – 2 hfill \x = – 2;y = – 1 hfill \ end ight.$

Với $leftx + y = pm 3 hfill \xy = frac hfill \ end
ight.$ trường hợp này không thỏa mãn $
ight)^2} ge 4xy$ nên vô nghiệm.

Vậy hệ có bốn nghiệm là $left(
ight) = left(
ight);left(
ight);left(
ight);left(
ight)$

Cách 2 : Nhận thấy hai phương trình của hệ vế trái đều cùng bậc 4.

Ta đưa về phương trình:

$ + + 6 = frac}}xyleft( + }
ight) Leftrightarrow left(
ight)left(
ight)left( – fracxy + }
ight) = 0$

Do $xy
e 0 Rightarrow – fracxy + > 0$

Do đó hoặc $y = 2x$ hoặc $x = 2y$

Chỉ việc thế vào một trong hai phương trình của hệ ta tìm được $left(
ight)$

Bài 7. Giải hệ phương trình $left\left( + }
ight)left( }}}
ight) = 49 hfill \left(
ight)left( }}
ight) = 5 hfill \ end
ight.$

Lời giải

Điều kiện $xy
e 0$

Hệ phương trình đã cho tương ứng với:

$left + + frac}} + frac}} = 49 hfill \x + y + frac + frac = 5 hfill \ end
ight. Leftrightarrow left}
ight)^2} + }
ight)^2} = 53 hfill \x + y + frac + frac = 5 hfill \ end
ight.$

$ Leftrightarrow left + y + frac}
ight)^2} – 2left( }
ight)left( }
ight) = 53 hfill \x + y + frac + frac = 5 hfill \ end
ight. Leftrightarrow left\left( }
ight)left( }
ight) = – 14 hfill \x + y + frac + frac = 5 hfill \ end
ight.$

$ Leftrightarrow left< eginleftx + frac = 7 hfill \y + frac = – 2 hfill \ end ight. hfill \leftx + frac = – 2 hfill \y + frac = 7 hfill \ end ight. hfill \ end ight. Leftrightarrow left< eginleftx = – 1 hfill \y = frac} hfill \ end ight. hfill \leftx = frac} hfill \y = – 1 hfill \ end ight. hfill \ end ight.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là $left(
ight) = left( }}
ight);left( }; – 1}
ight)$

Bài 8. Giải hệ phương trình $left\left(
ight)left(
ight) = 18xy hfill \left( + }
ight)left( }
ight) = 208 hfill \ end
ight.$

Lời giải

Nhận xét : Hệ phương trình này tương tự bài toán trên khi khử đi $xy$ và $$ bên vế phải của hệ phương trình của hệ.

Nhận thấy $left(
ight) = left(
ight)$ là nghiệm của hệ phương trình

Xét với $xy
e 0$ khi đó hệ phương trình tương đương với:

$left\left(
ight)left( }}
ight) = 18 hfill \left( + }
ight)left( }}}
ight) = 208 hfill \ end
ight. Leftrightarrow leftx + y + frac + frac = 18 hfill \ + + frac}} + frac}} = 208 hfill \ end
ight.$

$ Leftrightarrow leftx + y + frac + frac = 18 hfill \}
ight)^2} + }
ight)^2} = 212 hfill \ end
ight. Leftrightarrow leftx + y + frac + frac = 18 hfill \ + y + frac}
ight)^2} – 2left( }
ight)left( }
ight) = 212 hfill \ end
ight.$

$ Leftrightarrow leftx + y + frac + frac = 18 hfill \left( }
ight)left( }
ight) = 56 hfill \ end
ight. Leftrightarrow left< eginleftx + frac = 14 hfill \y + frac = 4 hfill \ end ight. hfill \leftx + frac = 4 hfill \y + frac = 14 hfill \ end ight. hfill \ end ight. Leftrightarrow left< eginleftx = 7 pm 4sqrt 3 hfill \y = 2 pm sqrt 3 hfill \ end ight. hfill \leftx = 2 pm sqrt 3 hfill \y = 7 pm 4sqrt 3 hfill \ end ight. hfill \ end ight.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $left(
ight) = left(
ight);left(
ight)$

Bài 9. Giải hệ phương trình (TSĐH Khối A 2006) $leftx + y – sqrt = 3 hfill \sqrt + sqrt = 4 hfill \ end
ight.$

Lời giải

Điều kiện: $leftxy ge 0\x,y ge – 1end
ight.$

Đặt $egin}S = x + y\P = xyend
ight.,}& ge 4P}
ight)}end$. Khi đó hệ phương trình trở thành:

$egin} = ,}& = ,}& = ,}end…left\fracleft(
ight)left( + 2} + 1}
ight)\y = + x + 1end
ight.left1 – = 4xy\4 + – 4x = 1end
ight.$

$4sqrt + 1} – + – 3y – 2 ge 0$

$leftS – sqrt P = 3\S + 2 + 2sqrt = 16end
ight. Leftrightarrow left\begin}
ight)}^2},}&end\2sqrt
ight)}^2} + 1} = 14 – Send
ight.$

$ Leftrightarrow left\begin}
ight)}^2},}&end\2sqrt – 5S + 10} = 14 – Send
ight. Leftrightarrow left\begin}
ight)}^2},}&end\4left( – 5S + 10}
ight) = – 28S + 196end
ight.$

$ Leftrightarrow left\begin}
ight)}^2},}&end\3 + 8S – 156 = 0end
ight. Leftrightarrow leftS = 6\P = 9end
ight. Leftrightarrow leftx + y = 6\xy = 9end
ight. Leftrightarrow x = y = 3$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $left(
ight) = left(
ight)$

Bài 10.

Giải hệ phương trình $left\sqrt – 1} + sqrt – 1} = sqrt \frac}} + frac}} = 1end
ight.$

Lời giải

Điều kiện: $egin}&&end$

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

$left – 1 + 2sqrt – 1}
ight)left( – 1}
ight)} + – 1 = xy + 2\ + = end
ight.$

$ Leftrightarrow left + – xy – 4 + 2sqrt – – + 1} = 0\ + = end
ight.$

Đặt $egin} + ,}&&
ight)}end$ hệ phương trình trở thành:

$leftu – v – 4 + 2sqrt – u + 1} = 0\u = end
ight. Leftrightarrow left< eginu = 1,v = – 1\u = 4,v = 2end ight.$

Đối chiếu với điều kiện suy ra $leftu = 4\v = 2end
ight. Leftrightarrow left + = 4\xy = 2end
ight. Leftrightarrow left< eginx = – sqrt 2 ;y = – sqrt 2 \x = sqrt 2 ;y = sqrt 2 end ight.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là $left(
ight) = left(
ight);left(
ight)$

Kết luận

Trên đây là một số cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 và các bài tập vận dụng tương ứng. Lý thuyết đa phần khá ngắn gọn, tuy nhiên để hiểu rõ và áp dụng vào bài tập thì bạn cần phải thực hiện càng nhiều càng tốt các bài tập mẫu mà chúng tôi đưa ra, điều này sẽ giúp bạn làm quen với hầu hết các biến thể có khả năng ra trong đề thi.