Lý Thuyết Và Bài Tập Về Các Phép Toán Tập Hợp, Các Dạng Toán Về Tập Hợp Và Bài Tập Vận Dụng

Tập hợp có thể hiểu là sự gom nhóm hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó, cùng có một đặc điểm đặc trưng nào đó giống nhau, như tập hợp các số tự nhiên, số hữu tỉ và số thực mà các em đã biết

Vậy làm sao để xác định một tập hợp? tập hợp rỗng (trống) là tập như thế nào? trên tập hợp có các phép toán gì? và tập hợp có các dạng toán nào? chúng ta cùng tìm câu trả lời qua bài viết hệ thống lại kiến thức về tập hợp và cách giải các dạng toán về tập hợp dưới đây.

Đang xem: Bài tập về các phép toán tập hợp

I. Lý thuyết về Tập hợp

1. Tập hợp

– Cho tập hợp A

+ Nếu a là phần tử thuộc tập A ta viết a ∈ A.

+ Nếu a là phần tử không thuộc tập a ta viết a ∉ A.

2. Một tập hợp xác định bởi

a) Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp

– Viết tất cả các phần tử của tập hợp vào giữa dấu{}, các phần tử cách nhau bằng dấu phẩy (,) hoặc chấm phẩy (;).

 Ví dụ: A = {1,2,3,4,5,6}

b) Viết tập hợp bằng cách nếu tính chất đặc trưng của tập

– Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập đó

 Ví dụ: 

*

– Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ ven.

*

Biểu diễn tập hợp bằng biểu đồ VEN

3. Tập hợp rỗng

– Là tập hợp không chứa phần tử nào, Ký hiệu là Ø

 A ≠ Ø ⇔ ∃x: x ∈ A

4. Tập hợp con của một tập hợp

– Cho 2 tập A, B:

*

– Lưu ý:

 • 

*

 

*

 

*

 và 

*

 ⇒ 

*

 • Tập A có n phần tử thì A có 2n tập con.

5. Hai tập hợp bằng nhau

– Cho 2 tập A, B: A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

6. Một số tập hợp số

a) Các tập hợp số

– Tập hợp số tự nhiên: 

*

– Tập hợp số tự nhiên khác 0:

*

– Tập hợp số nguyên: 

*

– Tâp hợp số hữu tỉ: 

*

 ⇒ Tập hợp các số hữu tỉ gồm các số thập phân hữu hạn và thập phân vô hạn tuần hoàn

– Tập hợp số vô tỉ: 

*

 = {tập hợp các số thập phân vô hạn không tuần hoàn}

– Tập hợp số thực: 

*

 gồm tập hợp tất cả các số hữu tỉ và vô tỉ được biểu diễn bằng trục số.

b) Mối quan hệ giữa các tập hợp số

*

*

biểu đồ VEN thể hiện quan hệ giữa các tập số

7. Các phép toán trên tập hợp

a) Phép giao

• 

*

• 

*

• 

*

b) Phép hội

• 

*

*

*

c) Phép hiệu

• AB = {x| x∈ A và x ∉ B}

• AA = 

• A = A

• AB ≠ BA

d) Phép lấy phần bù: Khi B ⊂ A: 

*

II. Các dạng bài tập toán về Tập hợp

  Dạng 1. Xác định tập hợp

* Phương pháp:

– Liệt kê các phần tử của tập hợp: A = {a1, a2, a3,…}

– Nêu tính đặc trưng của tập hợp: A = {x ∈ X| p(x)}

 Ví dụ 1: Tìm tập hợp các số tự nhiên chẵn khác 0 và nhỏ hơn 10

* Hướng dẫn:

– Ta liệt kê các phần tử: A = {2,4,6,8} hoặc A = {x ∈ N* | x = BS(2) và x 2-1) = 0

* Hướng dẫn:

– Liệt kê: A = {0, -1, 1, 2} 

– A = {x ∈ Z | x(x-1)(x-2)(x2-1) = 0} ⇔ A = {x ∈ Z | x(x-2)(x2-1) = 0} 

 Ví dụ 3: Viết tập hợp A = {2,3} bằng cách nêu ra tính chất đặc trưng của nó.

* Hướng dẫn:

– Ta có thể viết như sau:

 A = {x ∈ N | 1  | 2 ≤ x ≤ 3}

 A = {x ∈ N | (x-2)(x-3) = 0}

 A = {x ∈ N | x2 – 5x + 6 = 0}

  Dạng 2. Tập hợp con, Tập hợp bằng nhau

* Phương pháp: Áp dụng định nghĩa

+) 

*

+) A ⊄ B ⇔ ∃x ∈ A ⇒ x ∉ B

+) A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A

+) A ≠ B ⇔ A ⊄ B hoặc B ⊄ A

 Ví dụ 1: Cho 2 tập hợp A = {x ∈ Z| x3 – 2×2 – x + 2 = 0}B = {x ∈ Z| x2 – 3x + 2 = 0} hãy đặt dấu ⊂ và ⊄ giữa A và B.

* Hướng dẫn:

– Ta liệt kê các phần tử tập A và B: A = {-1; 1; 2} , B = {1; 2}

⇒ B ⊂ A

 Ví dụ 2: Cho A = {x | x(x-1)(x-2) = 0} Tìm các tập con của A và tập con đó có chứa phần tử 0.

* Hướng dẫn:

– Liệt kê số phần tử của A = {0; 1; 2} vậy tập A có 23 = 8 tập con như sau:

 {0}, {1}, {2}, {0;1}, {0;2}, {1;2} , {0;1;2} và Ø

⇒ Các tập có chứa phần tử 0 là: {0}, {0;1}, {0;2}, {0;1;2}

 Ví dụ 3: Cho tập hợp,

 

*

 

*

– Dựa vào sơ đồ Ven ta suy ra số học sinh chỉ biết chơi cờ tướng là 25 – 15 = 10.

– Số học sinh chỉ biết chơi cờ vua là: 30 – 15 = 15.

– Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A là: 10 + 15 + 15 = 40 học sinh.

 Ví dụ 2: Lớp 10B có 45 học sinh, trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 66 em không thích môn nào, 55 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên là bao nhiêu?

* Hướng dẫn:

– Ta vẽ biểu đồ VEN như sau:

*

– Gọi: a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán.

Xem thêm: Cửu Cung Phi Tinh Và Cách Tính Phi Tinh Lưu Niên, Sách Nói Phong Thủy

 x là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.

 y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và Toán.

 z là số học sịnh chỉ thích hai môn là Văn và Sử.

– Ta có số em thích ít nhất một môn là 45 – 6 = 39.

– Dựa vào sơ đồ Ven ta có hệ phương trình:

(I) 

*

 

– Giải hệ phương trình (I) bằng cách cộng vế với vế 3 phương trình đầu ta có:

 a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 63 kết hợp với phương trình cuối của hệ: x + y + z + a + b + c + 5 = 39 ta được:

a + b + c + 2(39 – 5 – a – b – c) + 15 = 63 ⇒ a + b + c = 20

⇒ Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

III. Một số bài tập về Tập hợp

Bài 1 trang 13 SGK Đại số 10: a) Cho A = {x ϵ N | x * Lời giải bài 1 trang 13 SGK Đại số 10:

a) Tập hợp A là tập các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20.

 Vậy A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}

b) Nhận thấy: 2 = 1.2 ; 6 = 2.3 ; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ; 30 = 5.6

 Vậy B = {x = n(n + 1) | n ∈ N* và n ≤ 5}

c) Ví dụ: C = {Tuấn, Phúc, Trang, Linh}.

Bài 2 trang 13 SGK Đại số 10: Trong hai tập hợp A, B dưới đây, tập hợp nào là tập hợp con của tập còn lại? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không?

a) A là tập hợp các hình vuông; B là tập hợp các hình thoi.

b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 24 và 30}; B = { n ∈ N | n là một ước của 6}.

* Lời giải bài 2 trang 13 SGK Đại số 10: 

a) Vì mỗi hình vuông đều là một hình thoi nên A ⊂ B. Có những hình thoi không phải là hình vuông nên B ⊄ A.

⇒ Vậy A ≠ B.

b) A = {n ∈ N | n là một ước chung của 24 và 30} = {1; 2; 3; 6}. B = {n ∈ N | n là một ước của 6} = {1; 2; 3; 6}.

– Ta thấy A ⊂ B và B ⊂ A nên A = B.

Xem thêm: Đề3 Hãy Viết Một Bài Văn Nghị Luận Để Nêu Rõ Tác Hại Của Ma Túy Trong Xã Hội

Bài 3 trang 13 SGK Đại số 10: Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau:

a) A = {a; b}

b) B = {0; 1; 2}

* Lời giải bài 3 trang 13 SGK Đại số 10:

a) A = {a; b} có 22 = 4 các tập con đó là: ∅; {a}; {b}; {a; b}

b) B = {0; 1; 2} có 23 = 8 các tập con đó là: ∅; {0}; {1} ; {2} ; {0, 1} ; {0, 2} ; {1, 2} ; {0; 1; 2}.

Bài 3 trang 15 SGK Đại số 10: Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi

a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt?

b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Bài tập