Bai Tap Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Bậc Hai, 100 Bài Tập

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai toán lớp 10 bài 2 giải bài tập do đội ngũ giáo viên dạy giỏi môn toán trên toàn quốc biên soạn, đảm bảo chính xác, dễ hiểu giúp các em hệ thống lại kiến thức trọng tâm trong bài phương trình quy về bậc nhất bậc hai để các em hiểu rõ hơn.

Đang xem: Bai tap phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Bài 2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai thuộc: CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. Ôn tập về phương trình bậc nhất bậc hai

1. Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

3. Định lí Vi–ét

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì

x1 + x2 = –

 , x1x2 = 

.

Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình

x2 – Sx + P = 0.

II. Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1. Giải phương trình |x – 3| = 2x + 1. (3)

Giải

Cách 1

a) Nếu x ≥ 3 thì phương trình (3) trở thành x – 3 = 2x + 1. Từ đó x = –4.

Giá trị x = –4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại.

b) Nếu x Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả

(3) => (x – 3)2 = (2x + 1)2

=> x2 – 6x + 9 = 4×2 + 4x + 1

=> 3×2 + 10x – 8 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = –4 và x = 

Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = 

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

Ví dụ 2. Giải phương trình 

 = x – 2 (4).

Giải.

Điều kiện của phương trình (4) là x ≥ 

Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả

(4) => 2x – 3 = x2 – 4x + 4

=> x2 – 6x + 7 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + √2 và x = 3 – √2 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 – √2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x= 3 + √2 là nghiệm (hai vế cùng bằng √2 + 1).

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x= 3 + √2 .

III. Hướng dẫn giải bài tập vận dụng sgk

Bài 1 trang 62 SGK Đại số 10: Giải các phương trình:

Lời giải:

Bài 2 trang 62 SGK Đại số 10:

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) m(x – 2) = 3x + 1 ;

b) m2x + 6 = 4x + 3m ;

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2.

Lời giải:

a) m(x – 2) = 3x + 1

⇔ mx – 2m = 3x + 1

⇔ mx – 3x = 1 + 2m

⇔ (m – 3).x = 1 + 2m (1)

+ Xét m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, phương trình (1) có nghiệm duy nhất 

+ Xét m – 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) ⇔ 0x = 7. Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ với m = 3, phương trình vô nghiệm

+ với m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất 

b) m2x + 6 = 4x + 3m

⇔ m2.x – 4x = 3m – 6

⇔ (m2 – 4).x = 3m – 6 (2)

+ Xét m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2, phương trình (2) có nghiệm duy nhất:

+ Xét m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2

● Với m = 2, pt (2) ⇔ 0x = 0 , phương trình có vô số nghiệm

● Với m = –2, pt (2) ⇔ 0x = –12, phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ m = 2, phương trình có vô số nghiệm

+ m = –2, phương trình vô nghiệm

+ m ≠ ±2, phương trình có nghiệm duy nhất 

c) (2m + 1)x – 2m = 3x – 2

⇔ (2m + 1)x – 3x = 2m – 2

⇔ (2m + 1 – 3).x = 2m – 2

⇔ (2m – 2).x = 2m – 2 (3)

+ Xét 2m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1, pt (3) có nghiệm duy nhất 

+ Xét 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1, pt (3) ⇔ 0.x = 0, phương trình có vô số nghiệm.

Kết luận :

+ Với m = 1, phương trình có vô số nghiệm

+ Với m ≠ 1, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Kiến thức áp dụng

Để giải và biện luận phương trình quy được về phương trình bậc nhất, ta cần :

+ Đưa phương trình về dạng a.x = b bằng cách chuyển hết những số hạng chứa x về bên trái, chuyển hết những số hạng tự do về bên phải.

+ Xét a ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = b/a

Xét a = 0, nếu b = 0, pt có vô số nghiệm ; nếu b ≠ 0, pt vô nghiệm.

+ Kết luận.

Bài 3 trang 62 SGK Đại số 10:

Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi số quýt ban đầu ở mỗi rổ là x (quả)

Muốn lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số quả ở mỗi rổ lúc đầu phải nhiều hơn 30 quả hay x > 30.

Khi đó rổ thứ nhất còn x – 30 quả; rổ thứ hai có x + 30 quả.

Vì số quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất nên ta có phương trình:

Giải phương trình (1):

Vì x > 30 nên x = 45 thỏa mãn.

Vậy ban đầu mỗi rổ có 45 quả cam.

Kiến thức áp dụng

Đây là dạng bài giải bài toán bằng cách lập phương trình đã học ở lớp 8.

Bước 1: Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lương.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

Bài 4 trang 62 SGK Đại số 10:

Giải các phương trình

a) 2×4 – 7×2 + 5 = 0 ; b) 3×4 + 2×2 – 1 = 0

Lời giải:

a) 2×4 – 7×2 + 5 = 0 (1)

Tập xác định: D = R.

Xem thêm: Tư Vấn Thiết Kế Nhà Ống Diện Tích Nhỏ, Thiết Kế Nhà Đẹp Diện Tích Nhỏ 25M2

Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0.

Khi đó phương trình (1) trở thành:

2t2 – 7t + 5 = 0

⇔ (2t – 5) (t – 1) = 0

b) 3×4 + 2×2 – 1 = 0 (2)

Tập xác định : D = R.

Đặt t = x2, điều kiện t ≥ 0

Khi đó phương trình (2) trở thành :

3t2 + 2t – 1 = 0 ⇔ (3t – 1)(t + 1) = 0

Bài 5 trang 62 SGK Đại số 10:

Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba)

a) 2×2 – 5x – 4 = 0 ; b) -3×2 + 4x + 2 = 0

c) 3×2 + 7x + 4 = 0 ; d) 9×2 – 6x – 4 = 0.

Hướng dẫn cách giải câu a): Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím

màn hình hiện ra x1 = 3.137458609

Ấn tiếp 

 màn hình hiện ra x2 = –0.637458608

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là x1 ≈ 3.137 và x2 ≈ –0.637.

Lời giải: Sử dụng máy tính CASIO fx–500 MS

* Nếu sử dụng các loại máy tính CASIO fx – 570, để vào chương trình giải phương trình bậc 2 các bạn ấn như sau:

rồi sau đó nhập các hệ số và đưa ra kết quả như CASIO fx–500 MS trên.

* Nếu sử dụng các loại máy tính VINACAL, để vào chương trình giải phương trình bậc 2 các bạn ấn như sau:

rồi sau đó nhập các hệ số và đưa ra kết quả như trên.

* Các loại máy tính CASIO fx–570, VINACAL trên khi giải phương trình vô tỷ sẽ cho nghiệm chính xác dưới dạng căn thức, để nghiệm hiển thị dưới dạng số thập phân, các bạn ấn nút 

Ví dụ để giải phương trình trên máy tính CASIO fx–570 VN, các bạn ấn như sau:

Bài 6 trang 62-63 SGK Đại số 10:

Giải các phương trình

a) |3x – 2| = 2x + 3 ;

b) |2x – 1| = |-5x – 2| ;

d) |2x + 5| = x2 + 5x + 1.

Lời giải:

a) |3x – 2| = 2x + 3 (1)

Tập xác định: D = R.

+ Nếu 

 thì phương trình (1) trở thành 3x – 2 = 2x + 3. Từ đó x = 5.

Giá trị x = 5 thỏa mãn điều kiện nên x = 5 là một nghiệm của phương trình (3).

+ Nếu 

 thì phương trình (1) trở thành 2 – 3x = 2x + 3. Từ đó 

Giá trị 

 là một nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và 

b) |2x – 1| = |-5x – 2| (2)

Tập xác định D = R.

Ta có:

Vậy phương trình có hai nghiệm 

 và x = –1.

+ Xét x > –1, khi đó x + 1 > 0 nên |x + 1| = x + 1.

Khi đó pt (3)

+ Xét x 2 + 5x + 1 (4)

Tập xác định: D = R.

+ Xét 2x + 5 ≥ 0 ⇔ 

 , khi đó |2x + 5| = 2x + 5

Khi đó pt (4) ⇔ 2x + 5 = x2 + 5x + 1

⇔ x2 + 3x – 4 = 0

⇔ (x + 4)(x – 1) = 0

⇔ x = –4 (không thỏa mãn) hoặc x = 1 (thỏa mãn)

+ Xét 2x + 5 2 + 5x + 1

⇔ x2 + 7x + 6 = 0

⇔ (x + 1)(x + 6) = 0

⇔ x = –1 (không thỏa mãn) hoặc x = –6 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 hoặc x = –6.

Kiến thức áp dụng

+ Để giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối chúng ta cần làm mất dấu giá trị tuyệt đối bằng cách chia trường hợp (trường hợp A(x) âm thì |A(x)| = –A(x), trường hợp A(x) dương thì |A(x)| = A(x)) hoặc bình phương cả hai vế.

+ Ở bước bình phương cả hai vế, ta dùng dấu tương đương khi biết rõ biểu thức ở cả hai vế cùng âm hoặc cùng dương.

Trong trường hợp chưa biết dấu của một trong hai vế hoặc cả hai vế, ta phải dùng dấu suy ra và thử lại nghiệm.

+ Phương trình dạng |f(x)| = |g(x)| khi giải bằng phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối ta sẽ có 4 trường hợp:

● |f(x)| = g(x) ⇔ f(x) = g(x) hoặc –f(x) = g(x)

● |f(x)| = – g(x) ⇔ f(x) = –g(x) hoặc –f(x) = –g(x)

4 trường hợp trên ta có thể viết gọn thành hai trường hợp f(x) = g(x) hoặc f(x) = – g(x).

Vậy ta có |f(x)| = |g(x)| ⇔ f(x) = g(x) hoặc f(x) = – g(x).

Bài 7 trang 63 SGK Đại số 10:

Giải các phương trình

Lời giải:

a) 

 (1)

Điều kiện xác định: 5x + 6 ≥ 0 ⇔ 

Từ (1) ⇒ 5x + 6 = (x – 6)2

⇔ 5x + 6 = x2 – 12x + 36

⇔ x2 – 17x + 30 = 0

⇔ (x – 15)(x – 2) = 0

⇔ x = 15 (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x = 2 (thỏa mãn đkxđ).

Thử lại x = 15 là nghiệm của (1), x = 2 không phải nghiệm của (1)

Vậy phương trình có nghiệm x = 15.

b) 

 (2)

Điều kiện xác định: -2 ≤ x ≤ 3

Ta có (2)

Thử lại thấy x = 2 không phải nghiệm của (2)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –1

c) 

 (3)

Tập xác định: D = R.

Từ pt (3) ⇒ 2×2 + 5 = (x + 2)2

⇔ 2×2 + 5 = x2 + 4x + 4

⇔ x2 – 4x + 1 = 0

Thử lại thấy chỉ có x = 2 + √3 là nghiệm của (3)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 + √3.

d) 

 (4)

Ta có 

 với mọi x.

Do đó phương trình có tập xác định D = R.

Từ (4) ⇒ 4×2 + 2x + 10 = (3x + 1)2

⇔ 4×2 + 2x + 10 = 9×2 + 6x + 1

⇔ 5×2 + 4x – 9 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = –9/5

Thử lại thấy chỉ có x = 1 là nghiệm của (4)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Kiến thức áp dụng

+ Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương cả hai vế để đưa về một phương trình không chứa ẩn dưới dấu căn.

+ Khi bình phương cả hai vế của một phương trình, ta dùng dấu tương đương khi biết rõ biểu thức ở cả hai vế cùng âm hoặc cùng dương.

Trong trường hợp chưa biết dấu của một trong hai vế hoặc cả hai vế, ta phải dùng dấu suy ra và thử lại nghiệm.

Xem thêm: Khóa Học Giám Đốc Tài Chính Online TrựC TuyếN 2021, Setup Tài Chính Công Ty

toán lớp 10 bài 2 giải bài tập được đăng ở chuyên mục Giải Toán 10 và biên soạn theo phần Toán đại 10 thuộc SKG Toán lớp 10. Bài giải toán lớp 10 được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy văn tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn khác cùng học tập cùng.