Hướng Dẫn Giải Bài Tập Nguyên Hàm Nâng Cao Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng

Nguyên hàm là dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Vậy nguyên hàm là gì? Cách giải các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản và nâng cao? Phương pháp làm bài tập nguyên hàm chống Casio?… Trong bài viết dưới đây, lingocard.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề này!.

Các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản và cách giải Bài tập nguyên hàm từng phần có lời giảiBài tập nguyên hàm lượng giác có lời giảiMột số bài tập nguyên hàm chống Casio

Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số (f) xác định trên (K). Hàm số (F) được gọi là nguyên hàm của (f) nếu (F”(x)=f(x)) với mọi (x) thuộc (K)

***Chú ý: Giả sử hàm số (F) là một nguyên hàm của hàm số (f) trên (K) thì khi đó hàm số (y = F(x) + C) cũng là một nguyên hàm của (f) trên (K) với mọi hằng số (C)

Công thức nguyên hàm cơ bản

Dưới đây là một số công thức tính nguyên hàm cơ bản thường được sử dụng:

1, (int 0dx = C)

2, (int dx =x+ C)

3, (int x^{k}dx = frac{x^{k+1}}{k+1} +C) với (k neq 1)

4, (int frac{1}{x} dx =ln |x| +C)

5, (int a^{x} dx = frac{a^{x}}{ln a} +C) với (0

6, Với (k) là hằng số khác 0:

a, (int sin kx hspace{2mm} dx = frac{-cos kx}{k} +C)

b, (int cos kx hspace{2mm} dx = frac{sin kx}{k} +C)

c, (int e^{kx} dx = frac{e^{kx}}{k} +C)

7,

a, (int frac{1}{cos^{2}x}dx =tan x +C)

b, (int frac{1}{sin^{2}x}dx =-cot x +C)

Các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản và cách giải 

Bài tập nguyên hàm từng phần có lời giải

Định lý về nguyên hàm từng phần

Ta sử dụng công thức nguyên hàm từng phần sau đây:

Nếu ( u,v ) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên ( K ) thì

(int u(x)v”(x)dx= u(x)v(x)dx-int u”(x)v(x)dx)

Hay được viết gọn là:

(int u d v=uv-int vdu)

Ý tưởng của phương pháp là từ tích phân khó (int u(x)v”(x)dx ) ta quy về tính tích phân ( int u”(x)v(x)dx) dễ hơn. Sau đây là một bài tập nguyên hàm từng phần có giải giúp các bạn nắm rõ hơn cách sử dụng phương pháp này

Ví dụ:

Tìm nguyên hàm (F=int frac{dx}{sqrt{2x-1}+4})

Cách giải:

Ta có

(int frac{dx}{sqrt{2x-1}+4}=int frac{sqrt{2x-1}}{sqrt{2x-1}(sqrt{2x-1}+4)}dx)

(=int frac{dx}{sqrt{2x-1}}.frac{sqrt{2x-1}}{sqrt{2x-1}+4})

Đặt (sqrt{2x-1}=t Rightarrow dt =frac{dx}{sqrt{2x-1}})

(Rightarrow F=int frac{t}{t+4}dt)

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

(Rightarrow F=int frac{t}{t+4}dt=int t.ln”(t+4)dt=t.ln(t+4)-int ln(t+4)dt)

Vì (int ln x ;dx=xln x-x) nên

(Rightarrow F=t.ln(t+4)-(t+4).ln(t+4)+(t+4)+C)

(=-4.ln(t+4)+t+C)

Thay (sqrt{2x-1}=t ) vào ta được

(F=sqrt{2x-1}-4ln(sqrt{2x-1}+4)+C)

Một số dạng toán nguyên hàm từng phần 

Bài tập nguyên hàm lượng giác có lời giải

Dạng bài này chúng ta sử dụng các biến đổi lượng giác và các công thức nguyên hàm lượng giác để tính toán.

Các đẳng thức lượng giác thường gặp

(sin^2x+cos^2x=1)

(sin 2x =2sin x cos x)

(cos 2x =2cos^2 x-1)

(tan 2x =frac{2tan x}{1- tan^2 x})

Các đạo hàm hàm lượng giác

(sin’x = cos x)

(cos ‘x =-sin x)

(tan’x =frac{1}{cos^2x})

(cot’x =frac{-1}{sin^2x})

Các nguyên hàm hàm lượng giác

Các dạng bài tập nguyên hàm lượng giác

Ví dụ:

Tính nguyên hàm (I=int frac{dx}{3cos x + 4sin x+3})

Cách giải

Đặt (t=tan frac{x}{2}Rightarrow left{begin{matrix} dx=frac{2dt}{t^2+1} sin x=frac{2t}{t^2+1} cos x =frac{1-t^2}{1+t^2} end{matrix}right.)

Thay vào ta được

(I=int frac{frac{2dt}{t^2+1}}{3frac{1-t^2}{t^2+1}+4frac{2t}{t^2+1}+3}=int frac{2dt}{3-3t^2+8t+3t^2+3})

(=int frac{2dt}{8t+6}=frac{1}{4}int frac{d(8t+6)}{8t+6}=frac{1}{4}.|ln(8t+6)|+C)

Thay (t=tan frac{x}{2} ) vào ta được

(I=frac{ln (8tanfrac{x}{2}+6)}{4}+C)

Bài tập nguyên hàm đổi biến số

Phương pháp đổi biến số rất hay được áp dụng trong các bài toán nguyên hàm, tích phân. 

Một số bài tập nguyên hàm chống Casio

Đây là các dạng bài tập nguyên hàm nâng cao thường xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia nhằm hạn chế việc sử dụng máy tính bỏ túi để đề cao tính tư duy của học sinh. Sau đây là một số dạng bài tập nguyên hàm có lời giải chống Casio

Dạng 1: Đồng nhất hệ số với mẫu có dạng tích

Bài toán: Ta cần tìm nguyên hàm (int frac{A(x)}{f_1(x).f_2(x)…f_n(x)}dx) với ( f_i(x) , A(x) ) là các đa thức.

Xem thêm: Cách Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Vuông Góc Với Đường Thẳng Lớp 10

Ý tưởng ta sẽ phân tích

(frac{A(x)}{f_1(x).f_2(x)…f_n(x)}=frac{a_1}{f_1(x)}+frac{a_2}{f_2(x)}+…+frac{a_n}{f_n(x)})

Rồi từ đó tìm nguyên hàm của từng phân thức (frac{a_i}{f_i(x)})

Ví dụ:

Giả sử nguyên hàm (I=int frac{3x^2+3x+5}{x^3-3x+2}dx=frac{a}{x-1}+bln |x-1|+cln |x+2|+C)

Tính ( a+b+c )

Cách giải:

Ta có:

(x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2))

(Rightarrow frac{3x^2+3x+5}{x^3-3x+2}) sẽ phân tích được dưới dạng (frac{m}{(x-1)^2}+frac{n}{x-1}+frac{p}{x+2})

Ta có:

(frac{m}{(x-1)^2}+frac{n}{x-1}+frac{p}{x+2}=frac{m(x+2)+n(x^2+x-2)+p(x^2-2x+1)}{(x-1)^2(x-2)})

(=frac{(n+p)x^2+(m+n-2p)x+(2m-2n+p)}{(x-1)^2(x-2)})

Đồng nhất hệ số ta có:

(left{begin{matrix} n+p=3 m+n-2p=3 2m-2n+p=5 end{matrix}right.)

Giải phương trình ta được (left{begin{matrix} m=frac{11}{3} n=frac{16}9{} p=frac{11}{9} end{matrix}right.)

Vậy ta được:

(I=int (frac{11}{3(x-1)^2}+frac{16}{9(x-1)}+frac{11}{9(x+2)})dx)

(=-frac{11}{3}.frac{1}{x-1}+frac{16}{9}ln|x-1|+frac{11}{9}ln |x+2|)

Vậy (a=frac{-11}{3};b=frac{16}{9};c=frac{11}{9})

(Rightarrow a+b+c=-frac{2}{3})

Dạng 2 : Nhảy tầng lầu

Đây là phương pháp áp dụng với những hàm số có bậc của tử số nhỏ hơn rất nhiều so với bậc của mẫu số nhằm mục đích tăng bậc của tử số cho gần với bậc của mẫu số hơn để tính toán dễ dàng hơn. Tổng quát

( int frac{dx}{x^n+a}=frac{1}{2k}int frac{–}{x^n+a}dx )

(=frac{1}{2k}(int frac{f(x)+k}{x^n+a}dx+int frac{f(x)-k}{x^n+a}dx))

Việc chọn ( f(x) ) và ( k ) phụ thuộc vào mẫu số trong từng bài toán cụ thể

Ví dụ:

Cho nguyên hàm (I=int frac{dx}{cos^3x}=a.frac{sin x}{cos^2 x}+b.tan (frac{x}{2}+frac{pi}{4})+C)

Tính ( a-b )

Cách giải

Đặt ( t=sin x ) ta có

( int frac{dx}{cos^3x}=int frac{cos x; dx }{cos^4 x}=int frac{dt}{(1-t^2)^2})

(= int frac{1}{4}int ^2dt=int frac{1}{4}(frac{1}{t+1}+frac{1}{t-1})^2dt)

(= int frac{1}{4}(frac{1}{(t+1)^2}+frac{1}{(t+1)^2}+frac{2}{t^2-1})dt)

(=-frac{1}{4(t+1)}-frac{1}{4(t-1)}+int frac{dx}{2cos x})

( =frac{t}{2(1-t^2)}+frac{1}{2}tan (frac{x}{2}+frac{pi}{4})+C )

(=frac{1}{2}.frac{sin x}{cos^2 x}+frac{1}{2}.tan (frac{x}{2}+frac{pi}{4})+C)

Vậy (a=b=frac{1}{2}Rightarrow a-b=0)

Dạng 3: Phân thức có bậc tử lớn hơn mẫu

Với dạng bài này chúng ta thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số rồi tiếp tục xử lý phần dư

Ví dụ:

Cho hàm số (f(x)=x^2+ax+ln|bx+1|+c). Biết rằng (f”(x)=frac{4x^2+4x+3}{2x+1}) và ( f(0)=1 )

Tính ( a+b+c )

Cách giải:

Ta có

(frac{4x^2+4x+3}{2x+1}=frac{(2x+1)^2+2}{2x+1}=2x+1+frac{1}{2x+1})

Vậy

(f(x)=int frac{4x^2+4x+3}{2x+1}dx=x^2+x+ln|2x+1|+c)

(Rightarrow a=1;b=2)

Vì (1=f(0)=cRightarrow c=1)

Vậy ( a+b+c=4 )

Bài tập nguyên hàm trắc nghiệm có lời giải

Dưới đây là một số bài tập nguyên hàm trắc nghiệm có lời giải giúp các bạn củng cố kiến thức:

Bài 1

Cho nguyên hàm (I=int frac{ln x + e^{ln x}}{x}dx=a.ln^bx+e^{ln x}+C)

Tính ( 2a+b )

A. ( 1 )

B. ( 2 )

C. ( 3 )

D. ( 4 )

 (Rightarrow) C

Bài 2

Cho nguyên hàm ( I=frac{dx}{sin x +tan x }=a.ln|tanfrac{ x}{2}|-b.tan^2frac{x}{2}+C )

Tính ( a+2b )

A. ( -1 )

B. ( -frac{1}{2} )

C. ( 0 )

D. ( frac{1}{2} )

(Rightarrow) C

Bài 3

Cho nguyên hàm (I=frac{4x^3-2x^2+2x+2}{2x-1}dx=ax^3+x^2+bln|2x-1| +C) và các mệnh đề sau

A. (a

Bài 4

Cho nguyên hàm (I=frac{(2x+1)e^x+2x}{e^x+1}=ax^2+bx+ln(e^x+c))

Tính ( ab+c )

A. ( -1 )

B. ( -frac{1}{2} )

C. ( 1 )

D. ( 2 )

(Rightarrow) C

Bài 5

Cho nguyên hàm (I=int frac{1-x^5}{x(1+x^5)}dx=a(ln|x^5|+bln|1+x^5)+C))

Tính ( ab )

A. (frac{2}{5})

B. (frac{4}{5})

C. (frac{-2}{5})

D. (frac{-4}{5})

(Rightarrow) C

Bài viết trên đây của lingocard.vn đã hướng dẫn bạn các phương pháp tính nguyên hàm cũng như cách làm bài tập nguyên hàm chống Casio. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề các dạng bài tập nguyên hàm. Chúc bạn luôn học tốt!