bài tập nâng cao về phương trình tích

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (182.94 KB, 23 trang )

Đang xem: Bài tập nâng cao về phương trình tích

PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS THỔ TANG

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Tác giả sáng kiến: Lê

Nguyệt Thu

Thổ Tang tháng 3 năm 2018

1

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, để trở thành một học sinh học
tốt môn Toán đòi hỏi học sinh phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi bền bỉ. Đối với giáo
viên: làm thế nào để trang bị cho các em có đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi mà giáo
viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân.
Trong nhiều năm tôi được phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy. Tôi đã
tích lũy được nhiều kiến thức về dạng toán “giải phương trình tích” và những dạng
bài tập vận dụng đặc biệt là hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được
nên áp dụng phương pháp nào để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu; giúp cho học sinh
biết nhìn nhận cách học bộ môn toán và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính

lo gic, chỉ ra các phương pháp dạy học các loại bài tập “Giải các dạng phương trình
đưa về phương trình tích”
Dạng bài tập về giải phương trình tích được học khá kỹ ở chương trình lớp 8,
nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều để giải các bài tập trong
chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên. Vì vậy yêu cầu học sinh nắm chắc
và vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích là vấn đề quan trọng.
Với vai trò quan trọng như vậy nên trong quá trình giảng dạy toán 8 tôi đã dày công
tìm tòi; nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải phương trình tích đa dạng và dễ
hiểu. Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh.
trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa
thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung; tách hạng tử; phương pháp thêm bớt
hạng tử; phương pháp đặt ẩn phụ; để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích;
Khi học chuyên đề này học sinh rất thích thú. vì có các ví dụ đa dạng, có nhiều
bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng tích từ đó
giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán khó.
2. Tên sáng kiến : “Giải các dạng phương trình đưa về phương trình tích”
3. Tác giả sáng kiến:
– Họ và tên: Lê Nguyệt Thu
– Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THCS Thổ Tang – VT – VP
– Số điện thoại: 0978 119 467 E_mail:………………………………………
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Nguyệt Thu
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Sách giáo khoa đại số lớp 8; Sách giáo viên; sách tham khảo nâng cao.
Sách bài tập toán 8. đối tượng học sinh lớp 8, 9 trường THCS.

2

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 15/3/2015
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 Cơ sở lý luận
Trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học; tự nghiên
cứu rất cao.Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo
dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo; tư duy khoa học từ đó
xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội.
Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn toán
(cụ thể là môn đại số lớp 8) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng
kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được như vậy
thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức của các em
học sinh.
7.2: Thực trạng:
7.2.1: Thuận lợi :
Cơ sở vật chất của nhà trường đầy đủ.
Ban giám hiệu nhà trường chỉ đạo thường xuyên coi việc phát triển năng lực
chuyên môn là then chốt; nhà trường đã phát động nhiều phong trào thi đua nhằm đẩy
mạnh công tác chuyên môn. Tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để các thầy cô giáo
được học tập nâng cao trình độ chuyên môn.
Tài liệu tham khảo đa dạng; đội ngũ giáo viên có năng lực vững vàng, nhiệt
tình.
Đa số các em ham học; thích nghiên cứu, Đa số các em đã nhận thức đúng đắn
về ý thức học tập cần phải hăng say học tập;
Học sinh đã nắm được kiến thức một cách có hệ thống; các em đã nắm được
các dạng bài tập và phương pháp giải các bài tập đó;
7.2.2: Khó khăn:
Lực học của các em không đồng đều. Một số em học sinh tiếp thu còn chậm
không đáp ứng được yêu cầu của chương trình.
Thời gian thực tế trên lớp ít (môn toán 4 tiết/tuần) nên có ít thời gian dành cho
việc lồng ghép các dạng Toán, mở rộng các dạng bài tập, do đó có những bài toán
mới học sinh còn bỡ ngỡ chưa biết cách giải.
Điều kiện kinh tế của gia đình một số học sinh còn nghèo nên có sự ảnh hưởng

rất lớn đến chất lượng học tập của học sinh.
Phụ huynh đi làm ăn xa nhà nên chưa quan tâm thường xuyên đến việc hoc của
con em mình ,còn phó mặc việc học của con cho thầy cô.
7.3: Giải pháp thực hiện

3

7.3.1: Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
Nghiên cứu chuyên đề nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp
giải các phương trình đưa được về dạng “Phương trình tích”. Đồng thời vận dụng các
phương pháp đó để giải các bài toán có liên quan đến phương trình tích;
Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích” là
gì ? Và những dạng bài tập nào thì vận dụng được và vận dụng như thế nào.
7.3.2: Nội dung và phương pháp thực hiện
Khi dạy chuyên đề vê phương trình tích, giáo viên cần nhấn mạnh cho học
sinh:
– Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số phải có một thừa số bằng 0.
– Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích đó bằng 0.
Ví dụ : Giải phương trình : (2x – 3) (x + 1) = 0 (I)
Phương pháp giải:
Tính chất nêu trên của phép nhân có thể viết
ab = 0 � a = 0 hoặc b = 0 (với a ; b là các số )
Đối với phương trình ta cũng có : (2x – 3) (x + 1) = 0

� 2x – 3 = 0
Hoặc

x+1=0

Do đó để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình
1/ 2x – 3 = 0 � 2 x  3 � x  1,5
2/ x + 1 = 0 � x = – 1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x = 1,5 và x = – 1
Và ta viết tập hợp nghiệm của phương trình là : S =  1,5; 1
Giải phương trình như trên được gọi là giải phương trình tích
Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát như sau
GV? : Để giải phương trình tích : A(x 1 ) . A(x2) . …………….A(x n ) = 0 (II)
thì ta cần giải những phương trình nào ?
HS: Để giải phương trình (II) ta cần giải các phương trình sau
A(x 1 ) = 0

(1)

A(x 2 ) = 0

(2)

……………………..
A (x n ) = 0

(n)

4

Nghiệm của các phương trình (1) ; (2) …….(n) là nghiệm của phương trình (II)
Với các giá trị của x thỏa mãn điều của phương trình (II)
7.4. Một số các dạng phương trình tích thường gặp:
I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN

VÍ DỤ 1: Giải phương trình

(x + 1) (x + 4) = (2 – x) (2 + x)
Nhận xét: Hai tích không có nhân tử chung thì ta phải khai triển và thu gọn để
tìm cách đưa về dạng tích, do đó để giải phương trình này ta cần thực hiện hai bước
Bước 1 : Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyển tất cả
các hạng tử từ vế phải sang vế trái và đổi dấu các hạng tử đó; vế phải bằng 0; rồi áp
dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích
Ta có : (x + 1) (x + 4) = (2 – x) (2 + x)

� (x + 1) (x + 4) – (2 – x) (2 + x) = 0
� x 2  x  4 x  4  22  x 2  0
� 2 x 2  5 x  0 � x (2 x  5)  0

Bước 2 : Giải phương trình tích vừa tìm được rồi kết luận nghiệm
� x0
� x0
�x  0
��
��
x ( 2x + 5 ) = 0 � �
2x  5  0
2x  5  0
x  2,5
�
�
�

Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  2,5
VÍ DỤ 2: Giải phương trình :

3
1
x  1  x  3x  7 
7
7

Tương tự ví dụ 1 ta thực hiện phép chuyển vế ta có :
3
1
3
3
x  1  x  3x  7  � x  1  x 2  x  0
7
7
7
7

�

3
3
3 �
�3
x  1  x 2  x  0 � � x  x 2 �  1  x   0
7
7
7 �
�7
�

3
�3
�
x  1  x    1  x   0 �  1  x  � x  1� 0
7
�7
�

�1  x  0
�x  1
��
�� 7
3
�
�
x 1  0
x
7
�
� 3

5

Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x 

7
3

VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : x 2  2 x  1  4  0
Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế
trái dựa vào hằng đẳng thức
Giải : Ta có : x 2  2 x  1  4  0





� x2  2x  1  4  0
�  x  1  22  0
2

�  x 1  2  x 1  2  0
x3  0
�

�x  3

��
�  x  3  x  1  0 � �
x  1
�x  1  0
�

Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x  3
VÍ DỤ 4:
Giải phương trình :  x  1  2  x  1  x  2    x  2   0
2

2

Đối với phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra được hằng
đẳng thức bình phương của một tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức rồi
mới phân tích thành nhân tử.
Ta xem ( x- 1 ) =A ; ( x + 2 ) = B � phương trình có dạng (A + B) 2 = 0
Giải : ta có  x  1  2  x  1  x  2    x  2   0
2

2

��
 x  1   x  2  �
�
� 0
2

��
 x  1   x  2  �
�
� 0
�  x 1  x  2  0
� 2x 1  0

� 2 x  1 � x  

1
2

Vậy nghiệm của phương trình là x  

1
2

VÍ DỤ 5 : Giải phương trình :







3  x 5 2x 2 1  0

6

Đây là một phương trình tích có chứa căn thức bậc hai, để tránh cho học sinh
có thể hiểu bài toán môt cách phức tạp vì phương trình có chứa căn bậc hai nên giáo
viên hướng dẫn học sinh vẫn thực hiện cách giải thông thường. Vì 2; 3; 5 … cũng
được coi là các hệ số thông thường
Giải : Ta có







3  x 5 2x 2 1  0

�
3
x

�
�3  x 5  0
5
��
��
� 1
�2 x 2  1  0
x
�
� 2 2

Vậy nghiệm của phương trình là x 

3
1
;x 
5
2 2

II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH
HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
VÍ DỤ 1 : Giải phương trình : x3  3 x 2  2 x  0
Đối với phương trình này thì học sinh có thể có các cách giải khác nhau ta có
thể tham khảo hai cách giải sau:
3
2

2
Cách 1 : Ta có : x  3x  2 x  0 � x  x  3x  2  0 

� x  x 2  x  2 x  2   0 (tách 3x = x + 2x)





2
�
� x�
�x  x   2 x  2  � 0 (nhóm hạng tử)

� x�
x  x  1  2  x  1 �
�
� 0 (đặt nhân tử chung)

� x  x  1  x  2   0

(đặt nhân tử chung)

�x  0
�x  0
�
��
x  1
�x  1  0 � �
�

�
x20
x  2
�
�
Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x  0; x  2
CÁCH 2: Giải : Ta có
x3  3 x 2  2 x  0 � x 3  x 2  2 x 2  2 x  0 (tách 3x 2  x 2  2 x 2 )

�  x 3  x 2    2 x 2  2 x   0 � x 2  x  1  2 x  x  1  0
�  x  1  x 2  2 x   0 �  x  1 x  x  2   0 (đặt nhân tử chung)

7

x  1
�x  1  0
�
�x  0
��
x

0
�
�
�
�
�
x


2

0
x  2
�
�
Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x  0; x  2
VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x 3  19 x  30  0
Đối với phương trình này đầu tiên chưa xuất hiện nhân tử chung; cũng không ở
dạng hằng đẳng thức nào cả.
Do vậy khi giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào
đã biết để phân tích vế trái thành tích (gợi ý phương pháp tách hạng tử) ta cần tách
hạng tử : -19x = – 9x – 10x
Giải : Ta có :
x3  19 x  30  0 � x 3  9 x  10 x  30  0
�  x3  9 x    10 x  30   0 � x  x 2  9   10  x  3  0





� x x 2  32  10  x  3  0 � x  x  3  x  3   10  x  3   0





2
�  x  3 �
x  x  3  10 �

�
� 0 �  x  3 x  3x  10  0





�  x  3 x 2  5 x  2 x  10  0 �  x  3  �
( x 2  5 x)   2 x  10  �
�
� 0

�  x  3 �
x  x  5  2  x  5 �
�
� 0 �  x  3  x  5   x  2   0

x3 0
x  3
�
�
�
�
��
x  5  0 � �x  5
�
�
x20
x  2
�

�
Vậy nghiệm của phương trình là x  3; x  5; x  2
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 3 x 2  5 x  2  0
Đối với phương trình này ta tách hạng tử 5x = 6x – x
Giải : Ta có : 3 x 2  5 x  2  0 � 3 x 2  6 x  x  2  0





� 3x 2  6 x   x  2   0 � 3x  x  2    x  2   0

�  x  2   3 x  1  0

8

x  2
�
�x  2  0
��
�� 1
�x 
3x  1  0
�
� 3
Vậy nghiệm của phương trình là x  2; x 

1
3

VÍ DỤ 4 : Giải phương trình : 4 x 3  14 x 2  6 x  0
Đối với phương trình này bước đầu tiên ta phải biến đổi vế trái thành tích bằng
cách đặt nhân tử chung để biểu thức trong ngoặc đơn giản hơn. sau đó dùng phương
pháp tách hạng tử để đưa về dạng tích.





3
2
2
Giải: Ta có: 4 x  14 x  6 x  0 � 2 x 2 x  7 x  3  0

� 2 x  2 x 2  6 x  x  3  0 � 2 x �
 2 x 2  6 x    x  3 �
�
� 0

� 2x �
2 x  x  3   x  3 �
�
� 0 � 2 x  x  3   2 x  1  0

�2 x  0
�x  0
�
��
�x  3  0 � �x  3

�
�
2x 1  0
x  0,5
�
�
Vậy nghiệm của phương trình là x  0; x  3; x  0,5
VÍ DỤ 5: Giải phương trình :

x 2  9 x  20  0

Đối với phương trình này vế trái chưa xuất hiện nhân tử chung, do đó ta cần
biến đổi để đưa vế trái về dạng tích bằng cách tách hạng tử 9x = 4x + 5x
Giải: Ta có : x 2  9 x  20  0 � x 2  4 x  5 x  20  0





� x 2  4 x   5 x  20   0 � x  x  4   5  x  4   0

x40 �
x  4
�
�  x  4  x  5  0 � �
��
x5  0 �
x  5
�
Vậy nghiệm của phương trình là x  4; x  5

VÍ DỤ 6: Giải phương trình :

x2  x  6  0

Ta biến đổi vế trái của phương trình thành tích bằng cách tách hạng tử
x  3 x  2 x sau đó nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung
Giải : Ta có : x 2  x  6  0 � x 2  3 x  2 x  6  0

9





� x 2  3x   2 x  6   0 � x  x  3  2  x  3  0

x3 0
x  3
�
�
�  x  3  x  2   0 � �
��
x20
�
�x  2
Vậy nghiệm của phương trình là x  3; x  2
VÍ DỤ 7: Giải phương trình : x 2  3 x  2  0
Đối với phương trình này có nhiều cách giải khác nhau. sau đây là một số cách
giải:

Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x – x
Ta có :

x 2  3x  2  0 � x 2  x  2 x  2  0





� x 2  x   2 x  2   0 � x  x  1  2  x  1  0

�x  1  0
�x  1
�  x  1  x  2   0 � �
��
x2 0
x2
�
�
Vậy nghiệm của phương trình là : x  1; x  2
Cách 2 : Tách hạng tử 2 = – 4 + 6
Ta có : x 2  3 x  2  0 � x 2  3 x  4  6  0
�  x 2  4    3x  6   0 �  x  2   x  2   3  x  2   0

�  x  2 �
 x  2   3�
�
� 0 �  x  2   x  1  0

x20

x2
�
�
��
��
�x  1  0
�x  1
Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x  2
Cách 3 : Biến đổi
Ta có :

3
9 1
3 x  2.x. ; 2  
4 4
2

3 9 1
x 2  3x  2  0 � x 2  2 x    0
2 4 4
2
2
�2
3 9� 1
3 �3 �� �1 �
�2
� �x  2 x  �  0 � �
x  2 x.  � �� � � 0
2
4

4
2 �2 �� �2 �
�
�
�

10

2

2

�
� 3 � �1 �
� 3 � 1 ��
� 3� 1�
� �x  � � � 0 � �
�x  � ��
�x  � � 0
2
2
� 2 � �4 �
�
�
� 2 � 2�
�
��
� 3 1�
� 3 1�

� �x   �
�x   � 0 �  x  1  x  2   0
� 2 2�
� 2 2�

�x  1  0
�x  1
��
��
x20
x2
�
�
Vậy nghiệm của phương trình là x  1; x  2
III/DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH
VÍ DỤ 1: Giải phương trình x 4  13 x 2  36  0
Đây là phương trình bậc 4 ẩn x, để giải dạng phương trình này ta cần đặt biến
phụ sau khi tìm được giá trị của biến phụ ta thay giá trị đó vào biểu thức ban đầu để
tìm nghiệm, ta đặt x 2  a (điều kiện a �0 ) ta có cách giải sau :
Giải :Ta có : x 4  13 x 2  36  0 � a 2  13a  36  0

� a 2  4a  9a  36  0 �  a 2  4a    9a  36   0

� a  a  4  9  a  4  0 �  a  4  a  9  0

a 4
a40
�
�

��
� �1
a2  9
a 9  0
�
�
Vì ta đặt

x  �2
�
x2  4
�
x  a � �2
��
x  �3
x 9
�
�
2

Vậy nghiệm của phương trình là x  �2; x  �3
VÍ DỤ 2: Giải phương trình : 2 x 4  5 x 2  2  0

x2

Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ là : Đặt
 a (điều kiện a �0 ) nên ta có cách giải sau :

Giải: Ta có : 2 x 4  5 x 2  2  0 � 2a 2  5a  2  0





� 2a 2  4a  a  2  0 � 2a 2  4a   a  2   0 (tách 5a = 4a + a)

� 2a  a  2    a  2   0 �  a  2   2a  1  0 (nhóm và đặt NTC)

11

�a  2
�a  2  0
��
��
1
�
2a  1  0
a
�
2
�

�x 2  2
2
Vì đặt x  a � �2
1
�
x 
�

2
Điều này không thể xẩy ra vì x 2 �0 với mọi giá trị của x vậy phương trình đã
cho vô nghiệm, tập hợp nghiệm của phương trình là: S = 
VÍ DỤ 3 : Giải phương trình : 9 x 4  6 x 2  1  0

x 2  a (điều kiện

Ta biến đổi vế trái bằng cách đặt ẩn phụ
dạng tích

a �0 ) để đưa về

Giải : Ta có : 9 x 4  6 x 2  1  0 � 9a 2  6a  1  0

�  3a   2.3a  12  0 �  3a  1  0
2

2

� 3a  1  0 � a  

x2  a � x2  

Vì đặt

1
3

1
Trường hợp này cũng không thể xẩy ra, vì x 2 �0

3

với mọi giá trị của x. Vậy phương trình vô nghiệm
Tập hợp nghiệm của phương trình là: S = 
VÍ DỤ 4: Giải phương trình : 2 x 4  7 x 2  4  0
Đặt

x2  a

(điều kiện a �0 ) Ta có cách giải sau :

2 x 4  7 x 2  4  0 � 2a 2  7a  4  0





� 2 a 2  8a  a  4  0 � 2 a 2  8 a   a  4   0

� 2a  a  4    a  4   0 �  a  4   2a  1  0

�a  4
�a  4  0
��
��
1
�
2a  1  0
a
�

�
2
Vì đặt x 2  a � x 2  4 � x  �
2

12

2
Và : x  

1
2

Loại

x  �2

Vậy nghiệm của phương trình là

VÍ DỤ 5 : Giải phương trình : 2 x 4  20 x 2  18  0
Đặt x 2  a (điều kiện a �0 ) nên ta có cách giải sau:

2 x 4  20 x 2  18  0 � 2a 2  20 x  18  0
� 2  a 2  10a  9   0 � 2  a 2  9a  a  9   0





2
�
�
� 2�
a
a  a  9   a  9 �
� 0
�  9 a   a  9  � 0 � 2 �

a9  0
a9
�
�
� 2  a  9   a  1  0 � �
��
a 1  0
a 1
�
�
Vì đặt x 2  a � x 2  9 � x  �
3
Và : x 2  1 � x  �
1
Vậy nghiệm của phương trình là x  �1; x  �3
VÍ DỤ 6: Giải phương trình:  x  1  x  2   x  5   x  6   252
Giải: Xét vế trái nếu nhân nhân tử thứ nhất với nhân tử thứ tư, nhân nhân tử
thứ hai với nhân tử thứ ba thì chúng có cùng hệ số của x 2 và của x do đó ta biến đổi
thành:

x

2





 7 x  6 x 2  7 x  10  252 (1)

Đặt x 2  7 x  8  y Phương trình (1) trở thành  y  2   y  2   252
� y 2  4  252 � y 2  256 � y  �16

– Với y = 16 ta có x 2  7 x  8  16 � x 2  7 x  8  0
�x  8
�  x  8   x  1  0 � �
x  1
�

-Với y = -16 ta có x 2  7 x  8  16
2

� 7 � 47
 0 với
� x  7 x  24  0 PT vô nghiệm (vì x  7 x  24  �x  �
� 2� 4
2

2

x

Vậy PT (1) có hai nghiệm là x = 8; x = -1.
Ta cũng có thể đặt x 2  7 x  6 hoặc x 2  7 x  10 làm biến phụ.

13

Chú ý: khi giải phương trình tích ta có thể gặp phương trình đối xứng, đó là
phương trình có hệ số của chúng đối xứng nhau.
Trong phương trình đối xứng nếu a là nghiệm thì

1
cũng là nghiệm;
a

Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có nghiệm là -1;
Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt ẩn
phụ y  x 

1
x

VÍ DỤ 7: Giải phương trình: 2 x 4  7 x3  9 x 2  7 x  2  0
2
Cách 1:Biến đổi PT thành  x  x  1  2 x  1  x  2   0

Phương trình có hai nghiệm x = 2; x 

1
2

Cách 2: Vì x = 0 không là nghiệm nên x �0 , chia cả hai về của phương trình cho
�2 1 � � 1 �
x 2 �0 ta được 2 �x  2 � 7 �x  � 9  0
� x � � x�
1
x

Đặt y  x  � y 2  2  x 2 

1
2 y 2  2  7 y  9  0 �  y  1  2 y  5   0
2 do đó ta có
x





�y  1
�y  1  0
��
�� 5
�
2
y

5

0

y
�
� 2
1
x

-Với y =1 ta có x   1  0 � x 2  x  1  0 PT vô nghiệm;
5
� 1�
2
-Với y  ta có 2 �x  � 5  0 � 2 x  5 x  2  0 �  2 x  1  x  2   0
x
2
�
�

Vậy PT có nghiệm là x = 2; x 

�x  2
�� 1
�
x
� 2

1
2

IV: DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần phải tìm điều kiện xác định của

phương trình. Điều kiện xác định của phương trình là tìm giá trị của ẩn để mẫu thức
khác không. Sau đây là một số ví dụ về dạng phương trình này:
VÍ DỤ 1: Gi ải phương trình :

x2 1
2
 
x  2 x x  x  2

14

(I)

�x �0
�x �0
��
�x  2 �0
�x �2

Giải : Điều kiện xác định của phương trình là : �
Ta có
(I)

 x  2 x   x  2  2
x2 1
2
 
�
x  2 x x  x  2

x  x  2
x  x  2

�

�  x  2 x   x  2  2 � x2  2x  x  2  2

�x  0
�x  0
� x 2  x  0 � x  x  1  0 � �
��
x 1  0
x  1
�
�
Vì điều kiện xác định của phương trình là :

x �0 và x �2

Nên với x = 0 loại. Do đó nghiệm của phương trình là x = -1
VÍ DỤ 2: Giải phương trình :

2  x  11
x2
3

 2
x2 x2
x 4

(II)

Giải: ĐKXĐ: x ��
2
Ta có :

2  x  11
x2
3

 2
x2 x2
x 4

(II) �

 x  2   3  x  2   2  x  11
�
 x  2  x  2
 x  2  x  2
2

Quy đồng mẫu hai vế

�  x  2   3  x  2   2  x  11 (Nhân hai vế với  x  2   x  2  khử
2

mẫu)
Khai triển chuyển vế thu gọn ta được

� x 2  9 x  20  0 � x 2  4 x  5x  20  0 ( tách -9x = – 4x – 5x )





� x 2  4 x   5 x  20   0 � x  x  4   5  x  4   0

x40
x4
�
�
�  x  4  x  5  0 � �
��
x 5  0
x5
�
�
Vì x = 4; x = 5 thuộc tập xác định của phương trình
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 4; x = 5.

15

VÍ DỤ 3 : Giải phương trình :

3
2x 1

x

x2 x2

( III)

x �2

Giải: ĐKXĐ :
Ta có :

�

(III)

2x 1  x  x  2
3
2x 1
3

x�

x2 x2
x2
x2

� 3  2 x  1  x 2  2 x ( nhân hai vế với x – 2 và khử mẫu )
� x2  4 x  4  0 �  x  2   0
2

� x  2  0 � x  2 (Loại vì x = 2 không thỏa mãn ĐKXĐ của

phương trình)



Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là: S =
VÍ DỤ 4 : Giải phương trình : x 

1
1
 x2  2
x
x

(IV) ĐKXĐ : x �0

x3  x x 4  1
( IV ) �
 2 � x3  x  x 4  1
2
x
x
� x3  x4  1  x  0 �  x3  x 4    1  x 




�  x  1  x  1  x  x  1  0 �  x  1  x

� x3  1  x    1  x   0 � (1  x) x 3  1  0
2

2

Vì

x

2

2



 x 1  0

1 1 3 �
1 1� 3
 x  1  x 2  2 x.    �x 2  2.x.  �
2 4 4 �
2 4� 4
2

� 1� 3
 �x  �  0
� 2� 4
nên  x  1

2

x

Xem thêm: Cách Viết Kết Bài Trong Văn Nghị Luận Văn Học Hay, Phương Pháp Viết Mở Bài, Kết Bài Hay

2

 x  1  0 �  x  1  0 � x  1  0 � x  1 (Thỏa mãn
2

điều kiện của bài toán)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
V: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC

16

Tùy theo mỗi dạng phương trình mà ta có thể có những cách biến đổi khác
nhau, để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích. Sau đây là một dạng
phương trình đặc trưng:
Ví dụ I: Giải phương trình :

2 x
1 x
x
1 

2001
2002 2003

Đây là một phương trình nếu áp dụng cách giải thông thường thì chúng ta sẽ
gặp rất nhiều khó khăn. Do đó để giải được phương trình này ta sử dụng phương pháp
sau, để biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích đơn giản hơn ta
cộng thêm 2 vào hai vế của phương trình và biến đổi phương trình như sau:

2 x
1 x
x
2x
�1  x
� � x
�
1 

�
1  �
 1� �
 1�
2001
2002 2003
2001
�2002 � �2003 �
�

2003  x 2003  x 2003  x
2003  x 2003  x 2003  x


�


0
2001
2002

2003
2001
2002
2003

1
1 �
�1
�  2003  x  �


� 0 � 2003  x  0 � x  2003
2001
2003
2003
�
�
Vì :

1
1
1


�0
2001 2002 2003

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2003
VÍ DỤ 2 : Giải phương trình :

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





94
93
92
91
90
89

Cộng thêm 3 vào hai vế của phương trình ta được
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 � �x  5 � �x  6 �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�
 1�
�
 1�
�
�94
� �93
� �92
� � 91
� �90
� �89

�

�

x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95





94
93
92
91
90
89

�

x  95 x  95 x  95 x  95 x  95 x  95





0
94
93
92
91

90
89

1
1 1 1
1 �
�1
�  x  95  �      � 0
�94 93 92 91 90 89 �

� x  95  0 � x  95
Vì :

1
1
1 1 1
1
    
�0
94 93 92 91 90 89

17

Vậy nghiệm của phương trình là x = -95
VÍ DỤ 3: Giải phương trình :

59  x 57  x 55  x 53  x 51  x





 5
41
43
45
47
49
Đối với phương trình này ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái và tách thành 5
hạng tử . mỗi hạng tử là 1 đơn vị nên ta có cách giải sau:

59  x 57  x 55  x 53  x 51  x




 5
41
43
45
47
49
�59  x � �57  x � �55  x � �53  x � �51  x �
��
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� 0
� 41

� � 43
� � 45
� � 47
� � 49
�

�

100  x 100  x 100  x 100  x 100  x




0
41
43
45
47
49

1
1
1
1 �
�1
�  100  x  �  

 � 0
�41 43 45 47 49 �

� 100  x  0 � x  100
Vì :

1
1
1
1
1
  

�0
41 43 45 47 49

Vậy nghiệm của phương trình là x =100
VÍ DỤ 4 : Giải phương trình :

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





59
58
57
56
55
54
Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm 3
vào hai vế của phương trình và tách thành từng nhóm như sau:

x 1 x  2 x  3 x  4 x  5 x  6





59
58
57
56
55
54
�x  1 � �x  2 � �x  3 � �x  4 � �x  5 � �x  6 �
��
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�
�59
� �58
� �57
� �56
� �55
� �54
�

�

x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60





59
58
57
56
55
54

�

x  60 x  60 x  60 x  60 x  60 x  60





0
59
58
57
56
55
54

18

1
1
1
1
1 �
�1
�  x  60  �  
   � 0
�59 58 57 56 55 54 �

� x  60  0 � x  60
Vì :

1
1
1
1
1
1
 
  
�0
59 58 57 56 55 54

Vậy nghiệm của phương trình là x = – 60
VÍ DỤ 5: Giải phương trình :

x  5 x  15 x  25 x  1990 x  1980 x  1970





1990 1980 1970
5
15
25
Đối với phương trình này giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đi 3 đơn
vị và tách ra từng phần và ta có cách giải sau:
x  5 x  15 x  25 x  1990 x  1980 x  1970





1990 1980 1970
5
15
25
�x  5 � �x  15 � �x  5 � �x  1990 � �x  1980 � �x  1970 �
��
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1� �
 1�

1990 � �1980
1970 � � 5
�
��
� � 15
� � 25
�
Giải :

�

x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995





1990
1980
1970
5
15
25

�

x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995 x  1995






0
1990
1980
1970
5
15
25

1
1
1 1 1 �
�1
�  x  1995  �


   � 0
1990 1980 1970 5 15 25 �
�

� x  1995  0 � x  1995
Vì :

1
1
1
1 1 1



  
�0
1990 1980 1970 5 15 25

Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1995
7.5. Bài tập tự luyện:
Bài 1: Giải các phương trình:
a)  x  3  16  0
2

2
2
b)  x  9   3x  2    x  9   2 x  3

c) x3  x 2  x  1  0
d) x 4  5 x3  5 x 2  5 x  6  0

19

e)  x  3   x  5   16
4

f)

4

x  16 x  18 x  20



1
49
47
45

g*)

148  x 169  x 186  x 199  x



 10
25
23
21
19

HD: Chuyển 10 sang vế trái và tách, rồi nhóm thành các nhóm như sau:
148  x � �
169  x
186  x
199  x
�
��
��
�
 1� �
 2 � �
 3 � �
 4 � 0

�
� 25
� � 23
� � 21
� � 19
�

Phương trình có nghiệm x = 123.
Bài 2: Cho phương trình: x3  9 x 2  13ax  12a  0
a) Giải phương trình với a = 2
b) Tìm a để phương trình có nghiệm là -2.
Bài 3: Cho phương trình:  x  1   a 2  a  7   x  1  3  a 2  a  2   0 (1)
3

a) Tìm các giá trị của a để một trong các nghiệm của PT là 2
b) Giải phương trình với các giá trị tìm được của a;
a0
�
a 1
�

2
2
HD: a) Thay x = 2 vào PT ta có 4a  4a  0 � a  a  0 � �

b) Thay a 2  a  0 vào PT (1) ta có PT  x  1  7  x  1  6  0 đặt x – 1 = y ta có
3

y 3  7 y  6  0 � y � 1; 2; 3 � x � 2;3; 2

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Thực hiện trong quá trình giảng dạy thông qua các tiết học trên lớp; các tiết
giải bài tập, các buổi học chuyên đề…
Biện pháp tổ chức thực hiện tập trung hoặc phân theo từng nhóm đối tượng học
sinh.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng
sáng kiến:
Kết quả trước và sau khi thực hiện kinh nghiệm dạy về phương trình tích được
khảo sát như sau như sau
Khi chưa thực hiện dạy về phương pháp giải phương trình tích
Khảo sát 20 em kết quả đạt được như sau :
Lớp

GIỎI

KHÁ

TB

20

YẾU

KÉM

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

8C

0

0%

1

5%

10

50%

7

35%

2

10%

8D

0

0%

2

10%

9

45%

8

40%

1

5%

Kết quả sau khi đã thực hiện giảng dạy các phương pháp giải phương trình tích
là
LỚP

8C

Giỏi

KHÁ

TB

YẾU

KÉM

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

4

20%

5

25%

9

45%

2

10%

0

0%

25%

4

20%

8

40%

3

15%

0

0%

8D
5
KẾT LUẬN

Đối với giáo viên giảng dạy môn Toán bên cạnh việc lựa chọn phương pháp
dạy học sao cho phù hợp với trình độ, năng lực của từng đối tượng học sinh, người
thầy cần phải biết cách khơi dậy sự say mê, hứng thú học tập ở học sinh và động viên
học sinh cố gắng phấn đấu vươn lên trong học tập.
Khi lên lớp giáo viên cần chuẩn bị nội dung bài dạy thật chu đáo, cần giúp cho
học sinh nắm được kiến thức cơ bản, trọng tâm của bài học và từng bước gây sự hứng
thú học tập cho học sinh. Trong mỗi giờ dạy nên dạy từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp.
Trong quá trình giảng dạy giáo viên chỉ ra các sai lầm, thiết sót của học sinh,
nhất là trong các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra; hướng dẫn, phân tích, giúp học
sinh phát hiện sai lầm tìm nguyên nhân và biện pháp sửa chữa.

Giáo viên cần nắm chắc năng lực của từng học sinh trong lớp từ đó phân loại
học sinh theo trình độ nhận thức để có phương pháp giảng dạy phù hợp với các đối
tượng học sinh.
Trong các giờ luyện tập, các giờ chuyên đề để học sinh tự đánh giá bài làm của
mình và đánh giá bài làm của các bạn.
Hướng dẫn học sinh phương pháp tự học, tự tìm hiểu.
Giáo viên cần đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với đối tượng học
sinh của lớp mình, tích cực ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy, để giờ học
trở nên sinh động, hấp dẫn.
Giáo viên phải có tinh thần trách nhiệm cao, kiên trì trong công tác giảng dạy,
thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh học tập, từng bước hình thành động
cơ, thái độ trong học tập, tạo sự phấn khởi và niềm tin để học sinh cố gắng phấn đấu
vươn lên.

21

Trong chuyên đề này tôi đã nêu phương pháp “Giải các dạng phương trình
đưa về phương trình tích”. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để
chuyên đề được hoàn thiện hơn.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu
có):
Số
TT

Tên tổ chức/cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực

áp dụng sáng kiến

1 Chu Thị Tuyết Dung

Trường THCS Thổ Tang

Dạy môn Toán lớp 8;9

2 Bùi Văn Thái

Trường THCS Thổ Tang

Dạy môn Toán lớp 8;9

3 Nguyễn Quang Vinh

Trường THCS Thổ Tang

Dạy môn Toán lớp 8;9

4 Lê Đức Hoàn

Trường THCS Thổ Tang

Dạy môn Toán lớp 8;9

Thổ Tang, ngày 20 tháng 3 năm 2018
Người viết

Lê Nguyệt Thu

22

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT

TÊN SÁCH

TÁC GIẢ

NHÀ XUẤT BẢN

1.

Sách giáo khoa đại số 8 tập II

Phan Đức Chính

2.

Sách bài tập đại số 8 tập II

Lê Văn Hồng

Nhà xuất bản giáo
dục

3.

Ôn tập đại số 8

Vũ Hữu Bình

Nhà xuất bản giáo
dục

4.

Các bài toán hay đại số 8

Lê Đình Phi

Đại học quốc gia Hà
Nội

Nguyễn Quang Hanh

Nhà xuất bản đại học
sư phạm Hà Nội

5.

Bồi dưỡng học sinh khá; giỏi

Ngô Long Hậu

Nhà xuất bản giáo
dục

6.

Bài tập nâng cao và một số Bùi Văn Tuyên
chuyên đề Toán 8

Nhà xuất bản giáo
dục

7.

Ôn Kiến thức luyện kỹ năng Tôn Thân
đại số 8
Vũ Hữu Bình

Nhà xuất bản giáo
dục

Bùi Văn Tuyên
8.

Tài liệu chuyên Toán THCS –
Toán 8 (tập 1)

Vũ Hữu Bình
Trần Hữu Nam
Nguyễn Tam Sơn

23

Nhà xuất bản giáo

dục

Tài liệu liên quan

Chuyên đề phuơng trình ĐS.L9(P.H) 3 483 4

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH 1 380 2

Chuyên đề Phương trình và Bất phương trình đại số 11 850 13

Chuyen De Phuong Trinh Luong Giac 6 918 6

Chuyên đề phương trình chứa căn thức 6 610 9

chuyen de phuong trinh luong giac 6 880 1

Chuyên đề: Phương trình hóa học. 15 826 10

Chuyên đề: Phương trình chức căn thức 17 385 0

Bai tập ôn Chuyên đề phương trình 6 435 1

Xem thêm: Khóa Học Lập Trình C Online, Các Khóa Học Lập Trình Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Bài giảng chuyên đề phương trinh 2 404 2